Interｰuniversal geometryとABC予想(応用スレ)51

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323: １３２人目の素数さん [] 2021/02/10(水) 00:02:49 ID:IbgkJMkf

>>322

追加

https://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~wakate/mcyr/2019/ja/abst.html
第15回数学総合若手研究集会 ?数学の交叉点? 201903
更科 明 (SARASHINA Akira) 京都大学　理学研究科　数学・数理解析専攻　数理解析系
1 点抜き楕円曲線の同型類の幾何的基本群による復元
遠アーベル幾何学の主なテーマはエタール基本群から元のスキームの不変量を復元できるかを問う事である。玉川安騎男氏によって有限体の代数閉包上の種数0の(properとは限らない)曲線のスキームとしての同型類がエタール基本群から決定される事が示された。本講演では有限体の代数閉包上の種数1でカスプの数が1の曲線に対して同様の結果が成り立つ事を紹介する。
Download

https://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~wakate/mcyr/2019/pdf/00900_sarashina_akira.pdf
1 点抜き楕円曲線の同型類の幾何的基本群による復元
京都大学大学院 理学研究科 数学・数理解析専攻 数理解析系
更科明 (Akira SARASHINA)

概要
1980 年代、Grothendieck により素体の有限次拡大体上の双曲的曲線の幾何が (ある意味
で)´etale 基本群から復元されるという予想が提唱された。この予想は中村博昭氏、玉川安騎男氏
の部分的な結果を経て望月新一氏によって肯定的に解決された。本稿では正標数代数閉体上の曲
線に対しても ´etale 基本群が多くの情報を持つ事、また特別な場合に元の曲線の同型類が復元で
きる事を紹介する。

このように標数が 0 の場合は幾何的基本群はあまり
多くの情報を持っていない。次の節で正標数の場合は幾何的基本群が多くの情報を持っている事を述
べる。
2 正標数代数閉体上の曲線の基本群
正標数代数閉体上の曲線の基本群に関しては玉川安騎男氏によって多くの結果が得られている。特
に有限体の代数閉包上の曲線に対しては、ある副有限群の同型類に対して基本群がその同型類に含
まれるような曲線の同型類が (特別な場合を除いて) 有限個である事 (c.f. [7])、以下で述べるよう
に種数 0 の曲線に関しては基本群の同型類に対して曲線の同型類がただ一つ定まる事 (c.f [6]) が玉
川安騎男氏によって示されている。筆者は上記の種数 0 の曲線に対する結果に関連した研究を行い
p ≠ 2,(g, n) = (1, 1) の場合にも同様の結果が得られる事を示した (c.f. [5])。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/323

429: １３２人目の素数さん [] 2021/02/13(土) 23:14:04 ID:wXktx3pj

エタール基本群つながり、再録
(>>323 再録)
https://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~wakate/mcyr/2019/pdf/00900_sarashina_akira.pdf
1 点抜き楕円曲線の同型類の幾何的基本群による復元
京都大学大学院 数学・数理解析専攻 数理解析系 更科明
概要
1980 年代、Grothendieck により素体の有限次拡大体上の双曲的曲線の幾何が (ある意味
で)´etale 基本群から復元されるという予想が提唱された。この予想は中村博昭氏、玉川安騎男氏
の部分的な結果を経て望月新一氏によって肯定的に解決された。本稿では正標数代数閉体上の曲
線に対しても ´etale 基本群が多くの情報を持つ事、また特別な場合に元の曲線の同型類が復元できる事を紹介する。

(>>333 再録)
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/50/2/50_2_200/_article/-char/ja/
J-STAGEトップ/数学/50巻(1998)2号/書誌
代数曲線の基本群に関するGrothendieck予想の解決
中村博昭,玉川安騎男,望月新一氏の研究に寄せて
伊原康隆
＜PDF＞
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/50/2/50_2_200/_pdf/-char/ja
　今回解決されたGrothendieck予想は,「代数体k上定義された滑らかな双曲型代数曲線Xは
X=XO　kの代数的(エタール)基本群π1(X)へのkの絶対ガロア群Ga1(k/k)の外作用によっ
て一意的に定まる」というものです。ここにXが双曲型とは,その種数をg,穴の個数をnとす
るとき2gー2+n > 0が満されることです.三人の方々は,それぞれ相異なる手法によってこの問
題の解決に向け独自の貢献をされました.しかし共通な点は,Grothendieckが「遠アーベル」と
呼んで超困難視したこの問題が,`実はπ1(X)の各開部分群のアーベル化に今まで発展してきた
「アーベル的な数学」を組織的に適用することによって解けてしまうことを(それぞれの方法で)実
証した点にある,と思います。中村氏が最初にこれを見抜いて種数0(従ってn:≧3)の場合を証明
し,玉川氏が有限体上の曲線の類体論(アーベル被覆の理論)を組織的に用いて一般のn>0の場
合をあざやかに証明して周囲を驚かせ,最後に望月氏がp進体上でも一般に成立することをp進
Hodge理論を(中村,玉川氏と同様に組織的に)用いて見事に証明しました.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/429

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