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Interｰuniversal geometryとABC予想(応用スレ)51 (1002ﾚｽ)
Interｰuniversal geometryとABC予想(応用スレ)51 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/
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173: １３２人目の素数さん [] 2021/02/01(月) 08:20:46 ID:6+Kuqo73 >>170 追加 数学の理論を、大きく3の部分に分ける 1）大局的に理解するべき部分 例 楕円曲線 ↓↑ 空間 C/Λ（これはトーラス） ↓↑ 楕円関数（ぺー関数を使うのが標準だが、ぺー関数に限らない。等価な楕円関数に置き換えできる） 2）理論（証明の）キーアイデア 例 空間 C/Λ（これはトーラス） で、複素数平面 Cは固定だから、本質は 「C 内の格子と呼ばれる離散部分群 Λ」 ってこと 3）テクニカルな部分（数式処理などソフトが使える部分。数値計算もここ） 例 Weierstrass のぺー関数と判別式Δ（≠0）の関係 上記3分類で、19世紀から20世紀前半の数学は、3）の部分で使えるコンピュータが無かったんだ で、3）の部分が重視された傾向もある 20世紀後半から、数式処理ソフトがどんどん使えるようになって （群論ソフトなどいろいろあるよ また、数値計算で昔シャンクスさんが、πの数値計算を20年くらいかけて500桁まで計算したらしいけど いま、数値計算で兆の桁まで計算できる時代になった） 例えば、楕円曲線の数式処理に乗る部分は、すごい計算ができる時代 そして、21世紀初頭にAIが出現して、2）の部分もAIが使える時代になるかも つまり、数式処理ソフトにAIを積んで、証明の自動検証なども可能になるかもね 結局、一番大事なのは、「1）大局的に理解するべき部分」ってことになりそう 梅村の楕円関数論にしろなんにしろ 上記の1）〜3）を意識して勉強するのが良いと思う 特に、1）を意識してね（ 1)→2）→3）と再現できるよう） （もちろん、院試を受ける人は3）も試験場で出来ないと合格しないから、テクニカルの部分も絶対必要だけど） ここ、まあ初学者で定理の証明を追うのが目一杯で、定理の写経で終わった人には 理解出来なかったかな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/173
175: １３２人目の素数さん [sage] 2021/02/01(月) 08:41:30 ID:ZFsykc4D >>173 まだ、マチガッテルよ ＞空間 C/Λ（これはトーラス） ＞ ↓↑ ＞楕円関数 これダメね 君の粗雑な「同値」だと 空間 C/Λ（これはトーラス） ↓↑ テータ関数 も云えちゃうよねｗ で、テータ関数は楕円関数じゃない、ってのは分かってるかい？ ＞本質は ＞「C 内の格子と呼ばれる離散部分群 Λ」 で、君は格子だけは「目で見て」わかったんだね 君、ほんと文章読めない「幼稚園児」なんだね じゃ、聞くけど、 R上独立なω1,ω2と、格子Λは一対一対応しないのは分かってる？ で、(ω1,ω2)と、(ω1’,ω2’)が、同じ格子となるのはいかなる場合？ 写経もせずに目で見ただけで分かるかな？（ニヤニヤ） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/175
176: １３２人目の素数さん [] 2021/02/01(月) 08:54:09 ID:ZFsykc4D >>173 ID:6+Kuqo73のダメなところは 「計算から理解へのフィードバック」 を無視してる点 自分で意識して計算しないとフィードバックはできない 何から何まで計算機にお任せしてる人は考えてないから 連立線型方程式系が計算機で解けなくても理由が分からないｗ ということで、>>175の以下の問題解いてね こんなのも知らないでモジュラーもへったくれもないからさ 「R上独立なω1,ω2と、格子Λは一対一対応しないのは分かってる？ で、(ω1,ω2)と、(ω1’,ω2’)が、同じ格子となるのはいかなる場合？」 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/176
179: １３２人目の素数さん [] 2021/02/02(火) 18:50:54 ID:nSHbWsKq >>173 追加 下記に、同様のことが、もっと詳しく書かれているな（＾＾； （参考） https://lemniscus.ハテナブログ/entry/20180525/1527257079 再帰の反復blog 2018-05-25 楕円積分、楕円関数、楕円曲線の関係についてのメモ 目次 1.名前の由来 2.楕円積分、楕円関数、楕円曲線の関係 3.楕円積分とリーマン面 楕円積分、複素関数での楕円積分、リーマン面と無限遠点、リーマン面による多価の扱い 4.リーマン面と楕円曲線 リーマン面と楕円曲線の対応、楕円曲線上の関数、「三位一体」、代数体との類似 5.楕円積分と楕円関数 周期、楕円関数、リーマン面Rと複素トーラス?/Λの対応、複素トーラス?/Λ と楕円曲線Cの対応 6.楕円モジュラー関数J(τ) 2. 楕円積分、楕円関数、楕円曲線の関係 まず代数関数、リーマン面、代数曲線のいわゆる「三位一体」を考えて、それとの関係で楕円積分、楕円関数、楕円曲線を位置づけると次の図のようになる。 https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/l/lemniscus/20180521/20180521234717.png この図で特にリーマン面・代数曲線の種数が1の場合、?⇒楕円積分、?⇒楕円関数、?⇒楕円曲線となる。 しかし種数1の場合の特殊事情がある。 種数1でのヤコビ多様体(1次元ヤコビ多様体)はリーマン面になり、しかも元のリーマン面と同型になる。そして楕円関数もリーマン面上の有理型関数なので代数関数体になり、こちらも元の代数関数体と同型になる。(「三位一体」により、リーマン面の同型⇔代数関数体の同型が成り立つ)。 つまり種数1の場合、ヤコビ多様体(複素トーラス)、アーベル関数(楕円関数)の部分も「三位一体」の内側に組み込まれてしまう。そのため図は(少し省略して)次のようになる。 https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/l/lemniscus/20180523/20180523015752.png 同型の部分が増えて多くのものを同一視できるようになった。(のだけど、同一視できる部分が増えたということは、場合によっては混乱しやすくなるということでもある)。 f(z)を3次または4次の多項式として、√f(z)についての楕円積分を考える場合、次のように対応する。 (表があるが、コピペしても崩れるので省略。原文サイト見てください。) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/179
182: １３２人目の素数さん [] 2021/02/02(火) 21:09:42 ID:bVxYM2lO >>173 ＞空間 C/Λ（これはトーラス） ＞本質は ＞「C 内の格子と呼ばれる離散部分群 Λ」 まあ、足立恒雄先生も下記に書いている 「種数 1 の曲線と楕円関数との関係」 の本質は「群構造」だってこと ここ、まあ初学者で定理の証明を追うのが目一杯で、定理の写経で終わった人には 理解出来なかったかな （参考） http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0971-4.pdf 楕円曲線の数論の歴史 早稲田大学 足立恒雄 数理解析研究所講究録 971 巻 1996 年 30-39 §3 群構造の発見 種数 1 の曲線と楕円関数との関係に初めて気が付いたのは Jacobi であろう。 Weil は Finite Basis Theorem の証明を簡易化したが、 パラメータの加法演算の 幾何学的な意味も説明し、 目的が「この不言が有限生成であることの証明である」 と宣 言している。 また、 その証明も (Mordell の場合と違って) 群であるという事実が基本的 に使われている。 このようなわけだから、楕円曲線の群構造を explicit に指摘した人は Weil であるといって良いことになるのではなかろうか。 §4 Frey の貢献 Wiles による FLT の最終決着に至る道を考えるとき、最も crucial な turningpoint は Frey 曲線の導入と FLT の谷山予想への還元であろう ([8]) 。どうして Frey はこの奇妙 なアイデアにたどりついたのか、 その経緯を探るのが本節の主題である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/182
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