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Interｰuniversal geometryとABC予想(応用スレ)51 (1002ﾚｽ)
Interｰuniversal geometryとABC予想(応用スレ)51 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/
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170: １３２人目の素数さん [] 2021/02/01(月) 07:35:47 ID:6+Kuqo73 >>163>>165 ＜楕円曲線と楕円関数の関係＞ これは、>>163工藤桃成や>>165梅村にある通り （>>163） 「本節では複素数体 C 上の楕円曲線の性質を（証明なしに）述べる． 2.4.1 複素数平面内の格子と複素数体上の楕円曲線 複素数体 C 上の楕円曲線は，C 内の格子と呼ばれる離散部分群 Λ による商 空間 C/Λ（これはトーラス）に同型であり，さらにリーマン面に同型である． また，この逆も成り立つ．本小節ではこれらの事実を復習する． 定義 2.4.1 (格子). 複素数平面 C における格子 (lattice) とは，R 上線形独 立な二つの複素数 ω1, ω2 の Z 上の線形結合全体からなる集合のことである．」 （補足） 証明は梅村にある（まあ、どこにでもある） 簡単に書くと 1）R 上線形独立な二つの複素数 ω1, ω2 から、 複素数平面 C における格子 (lattice) Λができる。 これは、空間 C/Λ（これはトーラス）に同型 2）C/Λから、Weierstrass のぺー関数が定まる 3）判別式Δ≠0の3次楕円曲線について、あるWeierstrass のぺー関数が存在し、 空間 C/Λ（これはトーラス）を定める 4）つまり、空間 C/Λ（これはトーラス）が本質であって そこから、一意にWeierstrass のぺー関数と判別式Δ≠0の3次楕円曲線とが出る ってこと 楕円曲線 ↓↑ 空間 C/Λ（これはトーラス） ↓↑ 楕円関数（ぺー関数を使うのが標準だが、ぺー関数に限らない。等価な楕円関数に置き換えできる） ってイメージ。 で、複素数平面 Cは固定だから、本質は 「C 内の格子と呼ばれる離散部分群 Λ」 ってこと これは、>>163工藤桃成や>>165梅村にある通り まあ、初学者で定理の証明を追うのが目一杯で、定理の写経で終わった人には 理解出来なかったかな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/170
171: １３２人目の素数さん [sage] 2021/02/01(月) 07:58:55 ID:ZFsykc4D >>170 >楕円曲線 > ↓↑ >空間 C/Λ（これはトーラス） これはいいけど >空間 C/Λ（これはトーラス） > ↓↑ >楕円関数 これはダメね １個の楕円関数ではなく、楕円関数体ならいいけどね 楕円関数体の定義は梅村のp11~12にあるよ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1604268050/64 >（ぺー関数を使うのが標準だが、ぺー関数に限らない。 > 等価な楕円関数に置き換えできる） 「等価な楕円関数」って何かな？ 等価の定義、できる？ ペー関数Pは、楕円曲線上の楕円関数体の「代表元」 もちろん、「代表元」の取り方はいくらでもある も・し・か・し・て 「同じ楕円関数体に属する」というのを 「等価」っていってるのかな？ だったら文章ではっきりそう書こうね 人間なんだからさ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/171
172: １３２人目の素数さん [sage] 2021/02/01(月) 08:16:20 ID:ZFsykc4D >>170 なんか細かく見ていくと穴だらけだな… >1）R 上線形独立な二つの複素数 ω1, ω2 から、 > 複素数平面 C における格子 (lattice) Λができる。 これはいいけど ＞ これは、空間 C/Λ（これはトーラス）に同型 これはダメね Λは、空間 C/Λと同型じゃないよｗ 正しくは「CをΛで割って、空間C/Λが作れる」ね まあΛの全体とC/Λの全体が一対一対応する っていいたいんだろうけどね いちいち言葉が足らないよね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/172
173: １３２人目の素数さん [] 2021/02/01(月) 08:20:46 ID:6+Kuqo73 >>170 追加 数学の理論を、大きく3の部分に分ける 1）大局的に理解するべき部分 例 楕円曲線 ↓↑ 空間 C/Λ（これはトーラス） ↓↑ 楕円関数（ぺー関数を使うのが標準だが、ぺー関数に限らない。等価な楕円関数に置き換えできる） 2）理論（証明の）キーアイデア 例 空間 C/Λ（これはトーラス） で、複素数平面 Cは固定だから、本質は 「C 内の格子と呼ばれる離散部分群 Λ」 ってこと 3）テクニカルな部分（数式処理などソフトが使える部分。数値計算もここ） 例 Weierstrass のぺー関数と判別式Δ（≠0）の関係 上記3分類で、19世紀から20世紀前半の数学は、3）の部分で使えるコンピュータが無かったんだ で、3）の部分が重視された傾向もある 20世紀後半から、数式処理ソフトがどんどん使えるようになって （群論ソフトなどいろいろあるよ また、数値計算で昔シャンクスさんが、πの数値計算を20年くらいかけて500桁まで計算したらしいけど いま、数値計算で兆の桁まで計算できる時代になった） 例えば、楕円曲線の数式処理に乗る部分は、すごい計算ができる時代 そして、21世紀初頭にAIが出現して、2）の部分もAIが使える時代になるかも つまり、数式処理ソフトにAIを積んで、証明の自動検証なども可能になるかもね 結局、一番大事なのは、「1）大局的に理解するべき部分」ってことになりそう 梅村の楕円関数論にしろなんにしろ 上記の1）〜3）を意識して勉強するのが良いと思う 特に、1）を意識してね（ 1)→2）→3）と再現できるよう） （もちろん、院試を受ける人は3）も試験場で出来ないと合格しないから、テクニカルの部分も絶対必要だけど） ここ、まあ初学者で定理の証明を追うのが目一杯で、定理の写経で終わった人には 理解出来なかったかな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/173
174: １３２人目の素数さん [sage] 2021/02/01(月) 08:32:42 ID:ZFsykc4D >>170 ＞４）空間 C/Λ（これはトーラス）が本質であって ＞ そこから、一意にWeierstrass のぺー関数と判別式Δ≠0の3次楕円曲線とが出る もしかして、「一対一対応がある」＝「等価」っていってる？ なんか素人の「俺様語」はいろいろ酷いね だから、>>149で >テータ関数を使うのはいいけど >（別に普通と思うけど、というか等価だからやればできるはずだ） なんて「軽率」な発言しちゃうんだね 単に１対１対応するっていうだけじゃ、 大したことは言えないんだけどね 要はどう対応させるかが重要なんだよ わかるかな？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/174
201: １３２人目の素数さん [] 2021/02/03(水) 10:42:06 ID:JejCe8TE >>170 > ＜楕円曲線と楕円関数の関係＞ >これは、>>163工藤桃成や>>165梅村にある通り 工藤モモちゃん（>>163）が理解できないかね〜ｗ >同じP4に >ω1、ω2の生成するCの加法群Ωによる2重周期関数の存在については > 3節で示す >と書いてあるぜ そういえば、梅村の 3節では、証明抜きで、定理のみを述べていたね 「証明抜き」なんだｗｗｗ （数学で「証明抜き」はありなんだよね。維新さん、これ知らないみたいだがｗｗｗ） ここ、まあ初学者で定理の証明を追うのが目一杯で、定理の写経で終わった人には 理解出来なかったかな （参考） https://researchmap.jp/momonari-kudo 工藤 桃成 クドウ モモナリ (Momonari Kudo) 基本情報 所属東京大学 大学院情報理工学系研究科 数理情報学専攻 助教 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/201
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