Interｰuniversal geometryとABC予想(応用スレ)51

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14: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2021/01/12(火) 22:04:33 ID:n5MgUW2B

(>>8より)
小山先生、分り易いわ（＾＾；
https://researchmap.jp/koyama/misc/21300350/attachment_file.pdf
数学の超難問「ABC予想」とは？ 別冊Newton「数学の世界」 増補第3版 168 - 171 2019年11月 協力 小山信也 執筆 山田久美
(抜粋)
「和」が「積」を制限している?
では，このABC予想が真に意味することとはいったいどのようなことなのだろうか。実はABC予想は下のような別の書き方もできる。このことから読み解いていくことにしよう。

このように，ABC予想が主張していることを言葉で説明すると「素因数分解したときに高い累乗をもつ特殊な数どうしを足すと，その足した数もまた，その特殊性を維持していることはまれである」ということだ。

整数には「足し算的な性質」と「掛け算的な性質」がある。「aとbの和がcである」は足し算的な性質であり，「aとbは小さな素因数しかもたない」は掛け算的な性質である。ABC予想は「掛け算的な性質が，足し算的な操作によって引きつがれることはまれである」ということを意味している。aとbの足し算の結果であるcという整数は，aとbがもつ掛け算的な性質をもはやもたないという意味で，掛け算的な面において制約が生じているということになる。

足し算的な性質と掛け算的な性質とは，一見，無関係に思える。つまり，足し算的な操作を行った結果，掛け算的な性質が依然として残っている

フェルマーの最終定理を解決にみちびいた「楕円曲線」とABC予想の証明

「望月教授も，ワイルズがフェルマーの最終定理を証明したときと同様に，『楕円曲線』を使いました。その上で独自のIUT理論を構築することで，ABC予想を証明したのです」と小山教授は説明する。

楕円曲線や保型形式は，「数論幾何学」とよばれる分野に属するものだ。数論幾何学は，整数に関する問題を，幾何学的な手法を使って解決しようというものである。

望月教授のIUT理論でも，楕円曲線が重要な役割を果たしている。今後，IUT理論が正しいと確認されれば，リーマン予想をはじめ，現在未解決となっているいくつかの数学の難問に大きな進展があると期待される。今後の進展を見守りたい。 （執筆：山田久美）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/14

22: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2021/01/13(水) 20:39:50 ID:E3DafHbD

>>17
>（強い）ABC予想だと
>フェルマー a^n+b^n=c^n で、n>=6のときに証明ができるらしいが（>>16&>>14 https://researchmap.jp/koyama/misc/21300350/attachment_file.pdf 数学の超難問「ABC予想」とは？ 別冊Newton「数学の世界」 増補第3版 168 - 171 2019年11月 協力 小山信也 執筆 山田久美）
>しかし、南出論文では、「> 1.615 * 10^14 」（下記）なので、まだまだIUT理論に改良の余地がありそうだね

プロ的には、IUT成立は当然で、もう次のステップ（Next Step）に入っていると思う
方向は、３つくらいだろうか？

１．ABC不等式の改善・改良：
　上記の南出論文「> 1.615 * 10^14 」の更なる改良が求められる
　（強い）ABC予想 「n>=6」にどこまで近づけるか？
　そもそも、元祖IUT IVでは明示公式は導けなかったのだ
　それを改善したのが、南出論文（楕円曲線の6等分（従来は2等分））であるが、更なる改善の道をさぐるべし！

２．IUTの新たな方向への発展：例えば下記”random measurable sets”とか、Joshi論文
　Dupuy論文の下記（”based on the notion of random measurable sets”）
　https://arxiv.org/pdf/2004.13108.pdf PROBABILISTIC SZPIRO, BABY SZPIRO, AND EXPLICIT SZPIRO FROM MOCHIZUKI’S COROLLARY 3.12
　Abstract. All of these inequalities are derived from an probabilistic version of [Moc15a, Corollary 3.12] formulated in [DH20b] based on the notion of random measurable sets.
　Joshi論文 https://arxiv.org/pdf/2003.01890.pdf On Mochizuki’s idea of Anabelomorphy and its applications Kirti Joshi April 24, 2020
　https://arxiv.org/pdf/2010.05748.pdf Untilts of fundamental groups: construction of labeled isomorphs of fundamental groups Kirti Joshi October 13, 2020 P2”My thanks are due to Peter Scholze, and also to Yuichiro Hoshi, Emmanuel Lepage, and Jacob Stix, for promptly providing comments,suggestions or corrections.”

３．IUTと従来の数学のつなぎ、即ち、IUT入門と解説
　星入門と再入門、山下サーベイがあるも、十分とは言えない。さらなるIUT入門と解説が、求められている

こんなところでしょうかね（＾＾

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/22

37: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2021/01/16(土) 10:27:07 ID:CjAaI3od

>>14
>https://researchmap.jp/koyama/misc/21300350/attachment_file.pdf
>数学の超難問「ABC予想」とは？ 別冊Newton「数学の世界」 増補第3版 168 - 171 2019年11月 協力 小山信也 執筆 山田久美
>(抜粋)
>「和」が「積」を制限している?
>では，このABC予想が真に意味することとはいったいどのようなことなのだろうか。実はABC予想は下のような別の書き方もできる。このことから読み解いていくことにしよう。
>このように，ABC予想が主張していることを言葉で説明すると「素因数分解したときに高い累乗をもつ特殊な数どうしを足すと，その足した数もまた，その特殊性を維持していることはまれである」ということだ。
>
>「望月教授も，ワイルズがフェルマーの最終定理を証明したときと同様に，『楕円曲線』を使いました。その上で独自のIUT理論を構築することで，ABC予想を証明したのです」と小山教授は説明する。
>楕円曲線や保型形式は，「数論幾何学」とよばれる分野に属するものだ。数論幾何学は，整数に関する問題を，幾何学的な手法を使って解決しようというものである。

補足
１．素人の説明だが、フェルマーの最終定理 「a^n+b^n=c^n ここにｎ>=3, a,b,c>0の整数」
２．n を山の高さに例えると、二つの山 a^n、b^n を重ねると、崩れて高さｎの山 c^n は不可。ｎ>=3だと
３．これが、ABC予想（いまやほとんど定理ですが）から導かれる
　（実際はｎ>=3ではなく、ｎ>=εで、ε＝6（強いＡＢＣ予想）であったりε＝ 1.615*10^14（南出論文）であったりします）
４．フェルマーの最終定理では、楕円曲線（フライ曲線）y^2 = x(x - a^n)(x + b^n) を使います
５．ＡＢＣ予想でも、同様にフライ曲線でn=1とおけば良い
　そうすれば、a+b=cというなんのへんてつもない式だが、cに制約ができる。それが、スピロ予想です

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86
フェルマーの最終定理
1984年にフライはフェルマーの最終定理に対する反例 an + bn = cn からはモジュラーでない楕円曲線（フライ曲線）：
y^2 = x(x - a^n)(x + b^n)
が得られ、これは谷山?志村予想に対する反例を与えることになるというアイディアを提示。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/37

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