Interｰuniversal geometryとABC予想(応用スレ)51

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179: １３２人目の素数さん [] 2021/02/02(火) 18:50:54 ID:nSHbWsKq

>>173

追加
下記に、同様のことが、もっと詳しく書かれているな（＾＾；

（参考）
https://lemniscus.ハテナブログ/entry/20180525/1527257079
再帰の反復blog
2018-05-25
楕円積分、楕円関数、楕円曲線の関係についてのメモ
目次
1.名前の由来
2.楕円積分、楕円関数、楕円曲線の関係
3.楕円積分とリーマン面 楕円積分、複素関数での楕円積分、リーマン面と無限遠点、リーマン面による多価の扱い
4.リーマン面と楕円曲線 リーマン面と楕円曲線の対応、楕円曲線上の関数、「三位一体」、代数体との類似
5.楕円積分と楕円関数 周期、楕円関数、リーマン面Rと複素トーラス?/Λの対応、複素トーラス?/Λ と楕円曲線Cの対応
6.楕円モジュラー関数J(τ)

2. 楕円積分、楕円関数、楕円曲線の関係
まず代数関数、リーマン面、代数曲線のいわゆる「三位一体」を考えて、それとの関係で楕円積分、楕円関数、楕円曲線を位置づけると次の図のようになる。
https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/l/lemniscus/20180521/20180521234717.png
この図で特にリーマン面・代数曲線の種数が1の場合、?⇒楕円積分、?⇒楕円関数、?⇒楕円曲線となる。
しかし種数1の場合の特殊事情がある。
種数1でのヤコビ多様体(1次元ヤコビ多様体)はリーマン面になり、しかも元のリーマン面と同型になる。そして楕円関数もリーマン面上の有理型関数なので代数関数体になり、こちらも元の代数関数体と同型になる。(「三位一体」により、リーマン面の同型⇔代数関数体の同型が成り立つ)。
つまり種数1の場合、ヤコビ多様体(複素トーラス)、アーベル関数(楕円関数)の部分も「三位一体」の内側に組み込まれてしまう。そのため図は(少し省略して)次のようになる。
https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/l/lemniscus/20180523/20180523015752.png
同型の部分が増えて多くのものを同一視できるようになった。(のだけど、同一視できる部分が増えたということは、場合によっては混乱しやすくなるということでもある)。
f(z)を3次または4次の多項式として、√f(z)についての楕円積分を考える場合、次のように対応する。
(表があるが、コピペしても崩れるので省略。原文サイト見てください。)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/179

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