Interｰuniversal geometryとABC予想(応用スレ)51

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144: １３２人目の素数さん [] 2021/01/31(日) 09:15:54 ID:k9whl64h

>>140
(引用開始)
楕円関数・テータ関数・モジュラー関数
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1604268050/12-13
楕円関数なら日本語で梅村の本があるし復刊されたばかり
あれより良い本は洋書でもそうはない（違う書き方はある）
(引用終り)

梅村の名著たるゆえんを書かないと
なんか、定理の写経で終わったんじゃね、なんだかな
どの本にでも書いてあるようなことは、書かなくていいんだ

1．図解がしっかりしている。わかりやすい
2．随所に梅村先生の数学的教養があふれている。例えばP62〜「これまで得られた結果の整理」で、
　Chowの定理2.11 SerreのGAGA 定理2.12に触れている。だが、証明は与えていない（それで良いと思う）。
3．P97「3.3 Heisenberg 群」で、”ここでは証明など細部には立ち入らないが、群論がどのように関係しているかを見る”
　として、必ずしも証明にこだわらない態度が良いね。
（P177でも”厳密に大域的な議論をやろうとすると大変なので、あまり神経質にならないようにする。この種の議論に関心のない読者は、詳細を無視して構わない”ともある
　証明は大事だが、こだわりすぎるの良くない。数学の最先端に立った人だからいえることだね）
4.P144 「3.10 Eulerの公式」で、無限積を扱っている。この内容は、谷口 隆先生が数学セミナーに書かれていた話だね
　http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/tani/index_j.html
　谷口 隆 https://www.nippyo.co.jp/blogsusemi/taniguchi-nt/ 付録ページ
　2020年3月号：<12> オイラーの無限積 https://www.nippyo.co.jp/blogsusemi/wp-content/uploads/sites/6/2020/02/susemi202003-furoku.pdf
5.P196 「4.6 楕円曲線の周期と超幾何微分方程式」は、多分梅村先生独特だろうね
　梅村先生は、微分方程式のガロア理論を研究されたが、その教養があふれているのだろう
　”周期”は、下記コンツェビッチと D. ザギエの「周期」と関係しているのだろう
　http://www2.kobe-u.ac.jp/~mhsaito/documents/0808saito-period.pdf 周期：積分で表わされる数について
齋藤 政彦 (神戸大学・大学院理学研究科) 2008 年 8 月 5 日
6.P265 「第6章 楕円関数の応用」もいい。適切に題目が選ばれている
7．P311からの付録 代数幾何学の入門解説だが、特にP332「J 4次曲線」がいいね。秀逸です
　P346 図J.8は、「層」でよく出てくる図そっくり（というかそのものかも）
8.あとは、最後の「梅村浩氏の楕円関数論（大山陽介・岡本和夫）」
　>>140に書いた。梅村先生の追悼録にもなっている。合掌
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/144

163: １３２人目の素数さん [] 2021/01/31(日) 21:51:58 ID:k9whl64h

>>149

楕円曲線と楕円関数の関係？
そんな程度は、検索すればすぐ見つかるだろう

和文がなければ英文を探せばいい
だが、和文で下記などあるよ

（参考）
https://core.ac.uk/download/pdf/161657765.pdf
2.体上の楕円曲線の一般論
工藤 桃成*1（九州大学マス・フォア・インダストリ研究所）
本稿は 2017 年 8 月 28 日（月）から 9 月 1 日（金）の期間に開催
された第 25 回整数論サマースクール「楕円曲線とモジュラー形式
の計算」における著者の講演「体上の楕円曲線の一般論」（8 月 28
日（月）14:00〜15:15，15:30〜16:05）の内容を纏めたものである．
(抜粋)

2.4 複素数体上の楕円曲線
本節では複素数体 C 上の楕円曲線の性質を（証明なしに）述べる．
2.4.1 複素数平面内の格子と複素数体上の楕円曲線
複素数体 C 上の楕円曲線は，C 内の格子と呼ばれる離散部分群 Λ による商
空間 C/Λ（これはトーラス）に同型であり，さらにリーマン面に同型である．
また，この逆も成り立つ．本小節ではこれらの事実を復習する．
定義 2.4.1 (格子). 複素数平面 C における格子 (lattice) とは，R 上線形独
立な二つの複素数 ω1, ω2 の Z 上の線形結合全体からなる集合のことである．

定義 2.4.8. 複素数平面 C 上の有理型関数 f(z) が格子 Λ ⊂ C に関する楕円
関数 (elliptic function) であるとは，任意の z ∈ C と任意の w ∈ Λ に対し
て f(z + w) = f(z) が成り立つことである．
定義 2.4.9 (Weierstrass のぺー関数). 複素数平面 C における格子 Λ に対
して，
p(z) = 1/z2+?ω∈Λ＼{0}(1/(z - ω)2-1/ω2)
と定め，これを格子 Λ に関する Weierstrass のぺー関数 (Weierstrass’s
p function) という．
注意 2.4.10. Weierstrass のぺー関数は ω1, ω2 を基本周期対に持つ二重周期
関数である．
Weierstrass のぺー関数を用いることで，C/Λ に同型となる C 上の楕円曲
線 E を構成できる．

g2(Λ) と g3(Λ) を格子 Λ のモジュラー不変量と呼ぶ．また，?(Λ) :=
g32 - 27g2
3 をモジュラー判別式 (modular discriminant) という．Weierstrass のぺー関数は次の微分方程式を満たすことが知られている：
p′(z)2 = 4p(z)2 - g2(Λ)p(z) - g3(Λ).

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/163

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