[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学 5 (255ﾚｽ)
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56(4): 2020/10/10(土)09:04 ID:0l/16VXN(5/31) AAS
チャーン・ヴェイユ準同型 は、
K(g*)~Ad(G) からコホモロジー代数（環） H*(M, K) への準同型である。
そのような準同型が存在すれば、
すべての M 上のG-主バンドル P に対して一意的に決まる。
もし G がコンパクトであれば、この準同型の下に
G-バンドルの分類空間 BG のコホモロジー代数（環）は、
次の不変多項式の代数（環）K(g*)~Ad(G) に同型である。
省1
57: 2020/10/10(土)09:07 ID:0l/16VXN(6/31) AAS
>>56
これも「普遍性」の一つだな
59: 2020/10/10(土)09:53 ID:0l/16VXN(8/31) AAS
>>56
さて、チャーン・ヴェイユ準同型の定義
P の中の任意の接続形式 ω を選び、Ω を ω についての曲率 2-形式とする。
f ∈ K(g*)~Ad(G) が次数 k の同次多項式として、f(Ω) を
f(Ω)(X_1,… ,X_2k) = 1/(2k)!Σ_(σ ∈ S_2k)ε _σ f(Ω (X_σ(1),X_σ(2)),…,Ω (X_σ(2k-1),X_σ (2k)))
で与えられる P 上の 2k-形式とする。
ここに ε_σ は 2k 個の対称群 S_2k の置換の符号 σ である。(パフィアン参照)。
省9
60(1): 2020/10/10(土)09:55 ID:0l/16VXN(9/31) AAS
59の訂正
>>56
さて、チャーン・ヴェイユ準同型の定義
P の中の任意の接続形式 ω を選び、Ω を ω についての曲率 2-形式とする。
f ∈ K(g*)~Ad(G) が次数 k の同次多項式として、f(Ω) を
f(Ω)(X_1,… ,X_2k) = 1/(2k)!Σ_(σ ∈ S_2k)ε _σ f(Ω (X_σ(1),X_σ(2)),…,Ω (X_σ(2k-1),X_σ (2k)))
で与えられる P 上の 2k-形式とする。
省10
98: 2020/10/10(土)18:47 ID:0l/16VXN(29/31) AAS
>>54-56 再掲
陳・ヴェイユ準同型（英: Chern–Weil homomorphism）は
チャーン・ヴェイユ理論の基本構成であり、微分可能多様体 M に対して
M のド・ラームコホモロジーと M の曲率を関連付けている。
つまり、（微分）幾何学とトポロジーの関連づけを意味する。
1940年代以来の陳省身とアンドレ・ヴェイユの理論は、
特性類の理論での重要なステップである。
省16
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