純粋・応用数学 5

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1: 2020/10/06(火)19:16 ID:ArpKO7AX(1/8) AAS
過去４回「純粋・応用数学」スレッドが立ったが
副題のガロア理論の話などちっともせず（できず）
もっぱら実数論・線型代数レベルの話に終始した

ということで、今回から、大学１〜２年の
・微分積分学
・線型代数
・ベクトル解析
省13

175: 2020/10/24(土)21:03 ID:qKLszrb1(7/7) AAS
>>174
・・・って聞くまでもなく書いてあった

When expanded as a polynomial in q, it yields the well-known decomposition of the Grassmannian into Schubert cells.

Furthermore, when q is 1 (respectively −1), the Gaussian binomial coefficient yields the Euler characteristic of the corresponding complex (respectively real) Grassmannian.

176: 数学板祭り　PD 2020/10/25(日)06:03 ID:5A2Fdkdl(1/5) AAS
どうも、某私大に附属から入った、
生ぬるい情報屋の数学板祭りPDっす

昨日のガウス祭り　大盛況だったっすね
ちょっと振り返ってもいいっすか？

2chｽﾚ:math

>117１３２人目の素数さん2020/10/24(土) 13:18:57.40ID:qKLszrb1
>なんか知らんけど、IUTすげぇ、って太鼓叩いて笛吹いてる人いるよね？
省14

177: 数学板祭り　PD 2020/10/25(日)06:05 ID:5A2Fdkdl(2/5) AAS
ここで、祭りの主役、登場

2chｽﾚ:math

>127現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/24(土) 14:31:58.26ID:i6I9Q5ne
>ガウスの「整数論」くらい読んだらいいじゃないっすか
>高瀬正仁の訳本は、読んだよ読み物としてね
>面白そうなところを拾い読みした

>いま書棚の肥やしになっている
省8

178: 数学板祭り　PD 2020/10/25(日)06:06 ID:5A2Fdkdl(3/5) AAS
そして　クライマックス

2chｽﾚ:math

>162 名前：１３２人目の素数さん 2020/10/24(土) 20:50:21.67 ID:qKLszrb1
>IUTで度々、ガウス積分が出て来て、なんか唐突だな、と感じてたけど
>たまたまウィキペディアのガウス和のページを見て
>そこに以下の式が書いてあったので「ああ、これか！」と気づいたんだよね
>ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
省8

179: 数学板祭り　PD 2020/10/25(日)09:24 ID:5A2Fdkdl(4/5) AAS
残念な動画
動画ﾘﾝｸ[YouTube]

ちなみにブログのコメントで
行列式による計算を提案して、本人に
「わたしの綽名がもやしで
　積分の記号がもやしに似てるから
　積分なの！顔洗って出直せ」
省3

180(1): 2020/10/25(日)13:57 ID:amftmLbh(1/2) AAS
i.imgur.com/OpQPqSz.png

弦理論とその他万物理論の候補を画像化
製作：5ｃｈ宇宙板,数学板,物理板

181: 2020/10/25(日)14:31 ID:amftmLbh(2/2) AAS
【存在】なぜ何も無いのではなく”何か”が在るのか
2chｽﾚ:galileo

【存在】なぜ何も無いのではなく、何かが在るのか
2chｽﾚ:philo

182: 2020/10/25(日)15:56 ID:5A2Fdkdl(5/5) AAS
>>180
弦理論の何について話したいのかな？

183: 2020/10/27(火)06:02 ID:RdShKY6k(1/14) AAS
代数学の基本定理（だいすうがくのきほんていり、英: fundamental theorem of algebra）とは、
「次数が 1 以上の任意の複素係数一変数多項式には複素根が存在する」という定理である。

184: 2020/10/27(火)06:03 ID:RdShKY6k(2/14) AAS
実係数の代数方程式は一般に実数の範囲内に解を有するとは限らないが、
係数体に多項式 x2 + 1 の根 i = √−1（虚数単位）というただ 1 つの数を添加すると、
どの代数方程式でもその拡大体上で解ける。

185: 2020/10/27(火)06:03 ID:RdShKY6k(3/14) AAS
そうして得られた複素数を係数とする代数方程式の解も、複素数の範囲に解を持つ。
これが代数学の基本定理の主張である。

186: 2020/10/27(火)06:05 ID:RdShKY6k(4/14) AAS
この定理の主張は、因数定理を帰納的に用いることより
　複素係数の任意の n 次多項式は複素根を重複を込めてちょうど n 個持つ
という事実を導くので、このことを指して代数学の基本定理と呼ぶこともある。

187: 2020/10/27(火)06:05 ID:RdShKY6k(5/14) AAS
つまり、任意の複素係数多項式は、複素係数の一次式の冪積に分解できる。

188: 2020/10/27(火)06:06 ID:RdShKY6k(6/14) AAS
代数学の基本定理は、複素数体が、代数方程式による数の拡大体で最大のものであることを示している。
これは、体論の言葉で言えば「複素数体は代数的閉体である」ということになる。

189: 2020/10/27(火)19:08 ID:RdShKY6k(7/14) AAS
リゾルベント

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org

In Galois theory, a discipline within the field of abstract algebra, a resolvent for a permutation group G is a polynomial whose coefficients depend polynomially on the coefficients of a given polynomial p and has, roughly speaking, a rational root if and only if the Galois group of p is included in G. More exactly, if the Galois group is included in G, then the resolvent has a rational root, and the converse is true if the rational root is a simple root.

抽象代数学の一分野であるガロア理論では、順列群Gに対するレゾルベントとは、係数が多項式pの係数に多項式的に依存する多項式であり、pのガロア群がGに含まれる場合にのみ、大まかに言えば有理根を持つものである。

Nowadays they are still a fundamental tool to compute Galois groups. The simplest examples of resolvents are
省10

190: 2020/10/27(火)19:21 ID:RdShKY6k(8/14) AAS
五次関数　＃解ける五次関数
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org

To characterize solvable quintics, and more generally solvable polynomials of higher degree, Évariste Galois developed techniques which gave rise to group theory and Galois theory. Applying these techniques, Arthur Cayley found a general criterion for determining whether any given quintic is solvable. This criterion is the following.

可解な五次式、より一般的には高次の可解な多項式を特徴づけるために、 Évariste Galoisは群論とGalois理論を生み出した技術を開発した。これらの技術を応用して、アーサー・ケイリーは、与えられた五次式が解けるかどうかを判断するための一般的な基準を発見した。この基準は以下の通りである。

quintics are solvable by radicals if and only if either they are factorisable in equations of lower degrees with rational coefficients or the polynomial named Cayley's resolvent, has a rational root in z

五項式は，有理な係数を持つ低次の方程式で因数分解可能であるか，ケイリーのリゾルベントと呼ばれる多項式がzの有理根を持つ場合に限り，根号によって解くことができる．
省3

191: 2020/10/27(火)19:51 ID:RdShKY6k(9/14) AAS
正直、ベキ根で解くことに固執するのは、不毛

解けるか否か判定するのが面倒な上、
解けるとわかっても解を出すのがさらに面倒

一方ｆがｎ次多項式なら、
ｆはリーマン球面からリーマン球面への写像で
その写像度はｎであるから、重解も含めてｎ個の解を持つ

192: 2020/10/27(火)19:52 ID:RdShKY6k(10/14) AAS
DKA法
外部ﾘﾝｸ[php]:www.slis.tsukuba.ac.jp

ｎ次方程式のｎ個の解を一度に計算する方法

知り合いが研究していたのもこの方法だった

193: 2020/10/27(火)20:09 ID:RdShKY6k(11/14) AAS
写像度
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org

写像度（しゃぞうど、degree, mapping degree）とは、
コンパクト、弧状連結、向き付けられた同次元の多様体間での
連続写像を特徴付ける整数のこと。
写像のホモトピー不変量のひとつである。

円周 S＾1上の連続写像 f : S＾1 → S＾1について、
省9

194: 2020/10/27(火)20:17 ID:RdShKY6k(12/14) AAS
球面の間の連続写像の写像度とその応用
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.las.osakafu-u.ac.jp

円周の間の連続写像に「写像度」と呼ばれる整数を対応させることにより,
連続写像の性質を調べるのが本論の目的である.
円周の間の連続写像の写像度とは, 直観的には,
円周上の点が円周を正の向きに 1 周するとき,
その点の像は円周を何回かまわるが,
省11

195: 2020/10/27(火)20:34 ID:RdShKY6k(13/14) AAS
逆数学と超準的手法:　代数学の基本定理を題材として
外部ﾘﾝｸ:www.jstage.jst.go.jp

196: 2020/10/27(火)20:56 ID:RdShKY6k(14/14) AAS
「代数学の基本定理でみる数学の世界」
外部ﾘﾝｸ:togetter.com
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.dropbox.com

どこのどなたか存じませんが、なかなか面白い発表でございます

197(1): 2020/10/28(水)20:02 ID:X+n2XWWD(1/4) AAS
x^n + s_1*x^(n-1) + s_2*x^(n-2) + … + s_n
=(x-r_1)*(x-r_2)* … *(x-r_n)

とすると

s_1=(-1)*(r_1 + r_2 + … + r_n)
s_2=(-1)^2*(r_1*r_2 + … + r_(n-1)*r_n)
…
s_n=(-1)^n*(r_1*…*r_n)
省8

198(1): 2020/10/28(水)20:18 ID:X+n2XWWD(2/4) AAS
>>197
s_1=-1*(x+y)
s_2=x*y

(∂s_1/∂x　∂s_1/∂y)
(∂s_2/∂x　∂s_2/∂y)
=
(-1　-1)
省3

199: 2020/10/28(水)20:38 ID:X+n2XWWD(3/4) AAS
>>198
s_1=-1*(x+y+z)
s_2=xy+yz+zx
s_3=-1*xyz

(∂s_1/∂x　∂s_1/∂y　∂s_1/∂z)
(∂s_2/∂x　∂s_2/∂y　∂s_2/∂z)
(∂s_3/∂x　∂s_3/∂y　∂s_3/∂z)
省8

200: 2020/10/28(水)20:53 ID:X+n2XWWD(4/4) AAS
Jacobian Rhapsody
動画ﾘﾝｸ[YouTube]

…なんちって

201: 2020/10/29(木)06:06 ID:ZX9ptk7R(1/27) AAS
さて代数方程式を解くことは、固有値問題を解くことに帰着できる

同伴行列
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org

行列 A が適当な体 K に係数を持つ n × n 行列とすると、以下は同値：

・A はその特性多項式の K 上の同伴行列に相似である。
・A の特性多項式は A の最小多項式に一致する
　（これは「最小多項式の次数が n である」と言っても同じ）。
省4

202: 2020/10/29(木)06:12 ID:ZX9ptk7R(2/27) AAS
ヴァンデルモンドの行列式
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org

203(1): 2020/10/29(木)14:32 ID:Fz9GA/S+(1) AAS
【数物】次に証明するべき数学の難題&予想とは【宇宙】
2chｽﾚ:math

204: 2020/10/29(木)19:24 ID:ZX9ptk7R(3/27) AAS
>>203
発狂するならそちらのスレでやってください
灰も残らぬように焼き●してくれるでしょう

205: 2020/10/29(木)19:29 ID:ZX9ptk7R(4/27) AAS
カール・フリードリヒ・ガウス
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org

ヨハン・カール・フリードリヒ・ガウス
（[ɡaʊs];
　ドイツ語: Johann Carl Friedrich Gauß
　ラテン語: Carolus Fridericus Gauss、
　1777年4月30日 - 1855年2月23日）は、
省12

206: 2020/10/29(木)19:30 ID:ZX9ptk7R(5/27) AAS
1777年 - ブラウンシュヴァイクに生まれる

207: 2020/10/29(木)19:32 ID:ZX9ptk7R(6/27) AAS
1792年(15歳) - 素数定理の成立を予想
ーーーーーーーーーーーーーーーーーー
いまどき、数学の重要な予想を行う中学生がいたらお目にかかりたい

208: 2020/10/29(木)19:34 ID:ZX9ptk7R(7/27) AAS
1795年(18歳) - 最小二乗法発見
ーーーーーーーーーーーーーーー
最小二乗法なんて、高校ではまだ教えないな・・・オソロシイ

209: 2020/10/29(木)19:36 ID:ZX9ptk7R(8/27) AAS
1796年(19歳) - 平方剰余の相互法則の証明。
　　　　　　　　コンパスと定規のみで正十七角形を作図できることを証明
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
いまどき、数学の重要な新定理を証明する大学生がいたらお目にかかりたい

210: 2020/10/29(木)19:37 ID:ZX9ptk7R(9/27) AAS
1799年(22歳) - 代数学の基本定理の証明
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
いまどき、卒論で数学の重要な新定理を証明した大学生がいたらお目にかかりたい

211: 2020/10/29(木)19:40 ID:ZX9ptk7R(10/27) AAS
1801年(24歳) - 『整数論の研究』出版　複素数表記、現代整数の表記導入
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
いまどき、新理論について書かれた数学書を出版する大学院生がいたらお目にかかりたい

212: 2020/10/29(木)19:40 ID:ZX9ptk7R(11/27) AAS
1801年(24歳) - 円周等分多項式の研究

213: 2020/10/29(木)19:43 ID:ZX9ptk7R(12/27) AAS
1807年(30歳) - ゲッティンゲンの天文台長になり、以後40年同職につく
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
いまどき、重要な数学の研究を行う会社勤めの「数学者」がいたらお目にかかりたい

214: 2020/10/29(木)19:47 ID:ZX9ptk7R(13/27) AAS
1809年(32歳) - 『天体運行論』出版　最小二乗法を用いたデータ補正、正規分布
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
本業の天文学者でも大したもんなのに、チャチく見えるのは気のせいか？

215: 2020/10/29(木)19:48 ID:ZX9ptk7R(14/27) AAS
1811年(34歳) - 複素積分、ガウス平面（複素数平面）ベッセルへの手紙
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
ほんとうはもっといろいろやってるはずなんだがな・・・

216: 2020/10/29(木)19:50 ID:ZX9ptk7R(15/27) AAS
1827年(50歳) - 『曲面の研究』出版、微分幾何学を創始
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
なんもいえねぇ・・・

217: 2020/10/29(木)19:51 ID:ZX9ptk7R(16/27) AAS
1855年(78歳) - ゲッティンゲンで死去
ーーーーーーーーーーーーーーーーーー
まだ、ドイツ帝国ができる前ですね

218: 2020/10/29(木)19:54 ID:ZX9ptk7R(17/27) AAS
ガウスはドイツのブラウンシュヴァイクで、
煉瓦職人の親方であった父親と、慎ましい母親の下に生まれた。
両親ともに学問とは全く無縁の家庭環境で育ったにも関わらず、
彼は子供の頃から並み外れた神童ぶりを発揮していたと言われ、
下記のような小学校時代の逸話が伝わっている。

ガウスが7歳の時、算数の授業で教師が
「1から100までの数字すべてを足せ」
省14

219: 2020/10/29(木)19:56 ID:ZX9ptk7R(18/27) AAS
1792年頃、15歳当時の彼は、一日15分ずつの予備の時間を当てて
1000個ずつの自然数にそれぞれいくつの素数が現れるかを調べ、
その次第に減っていく様子から、約100年後に証明されることになる
素数定理を予想した。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
数学ヲタクといっていいな

220: 2020/10/29(木)20:01 ID:ZX9ptk7R(19/27) AAS
7歳になるとガウスは地元の小学校に入った。
ここでビュットナー校長によって算数を習うものの、
すでにガウスは習得済みであった。
このため、校長は自費でより高級な算術の教科書を
ハンブルクから取り寄せたが、すぐに読み終えてしまった。
ここで校長は「これ以上教えられることはない」と述べたようである。
そこで校長は、助手であるヨハン・バーテルスにガウスを任せることにした。
省13

221: 2020/10/29(木)20:10 ID:ZX9ptk7R(20/27) AAS
ガウスは奨学金を得て大学に進み、数々の重要な発見を行った。
彼は、古代ギリシアの数学者達に起源を持つ
定規とコンパスによる正多角形の作図問題に
正確な必要十分条件を与え、
正17角形が作図できることを発見した（1796年3月30日）。
作図できる正素数角形は古来から知られていた正三角形と正五角形のみだと
考えられていたのでこの発見は当時の数学界に衝撃を与えた。
省9

222: 2020/10/29(木)20:13 ID:ZX9ptk7R(21/27) AAS
ガウスの最も偉大な貢献は数論の分野である。
この分野だけが、その全貌ではないにしろ
ガウスの研究が体系的にまとめられて出版された。
それが1801年に発表した Disquisitiones Arithmeticae であり、
そのほとんどのページが二、三元の二次形式の研究に当てられている。
この本は、数の合同の記号を導入し合同算術の明確な表現を与え、
平方剰余の相互法則の初の完全な証明などが与えられている。
省13

223: 2020/10/29(木)20:19 ID:ZX9ptk7R(22/27) AAS
ガウスは発表はしなかったが、解析学の分野でも時代を先んじた研究を行っていた。
当時はまだ複素数が完全なる市民権を得ておらず、
できれば使用を避けたいという風潮のあった時代であった。
そのため、ガウスは代数学の基本定理を証明した学位論文では
誤解を避けるために虚数を表に出さず、
多項式が実数の範囲内で1次または2次の因数に分解されるとした。
そのような時代にあっても、早くから虚数への偏見から
省20

224: 2020/10/29(木)20:29 ID:ZX9ptk7R(23/27) AAS
ガウスは1791年以降、1806年にブラウンシュバイク公爵が死去するまで
彼に援助されて研究生活をしていた。
支援は潤沢で生活に困ってはおらず、ガウス自身も
公爵には強い感謝の念を持っていたが、
数学そのものがそれほど世の中の役に立つとは考えていなかった
（注、職業数学者というポストが成立したのは主に大学制度が出来てからで、
　それ以前は貴族王侯の名誉を支える一種の芸人として仕えるあるいは
省12

225: 2020/10/29(木)20:46 ID:ZX9ptk7R(24/27) AAS
測量への興味から曲面論を創始し、後のリーマン幾何学に影響を与えた。
1827年に『曲面の研究』（羅: Disquisitiones generales circa superficies curvas）を出版し、
曲面の面積と対応する単位球面の面積の無限小比として意味付けられる曲率
（今日ではガウス曲率と呼ばれる）が、曲面の内在的量にのみ依存すること
を示し、ラテン語で Theorema Egregium（驚異の定理）と呼んだ。
この定理は、微分幾何学においてガウスの基本定理、
あるいは単にガウスの定理とも呼ばれる。
省10

226: 2020/10/29(木)21:06 ID:ZX9ptk7R(25/27) AAS
ガウスは信心深く、保守的な人物だった。
君主制を支持し、フランス革命の際にはナポレオンと対立した。
彼は他の数学者と一緒に何かをすることはほとんどなく、
あまり人と打ち解けることのない厳粛な人だったと多くの人が伝えている。
言語に優れ数カ国語を操ることができたため外国の新聞から情報を入手でき、
また統計学的な知識もあったため、投資に成功して
安定した財産を築くことができた。
省2

227: 2020/10/29(木)21:08 ID:ZX9ptk7R(26/27) AAS
私生活では、ヨハンナ・オストホフ（Johanna Osthoff, 1780年 - 1809年）と
1805年に結婚した。
彼はヨハンナを精神的な意味も込めて溺愛しており、
幸せな結婚生活を送ったものの、ヨハンナは1809年に若くして亡くなり、
さらにそれを追うように次男ルイスも夭逝した。
彼女の死は彼の精神に大きなショックを与え、
以後完全に回復することはなかった。
省8

228: 2020/10/29(木)21:09 ID:ZX9ptk7R(27/27) AAS
子供は2人の妻に3人ずつ、合計6人もうけた。
ヨハンナとの間の子供は、
ヨゼフ（Joseph, 1806年 - 1873年）、
ヴィルヘルミーナ（Wilhelmina, 愛称はやはりミンナ, 1808年 - 1846年）、
ルイス（Louis, 1809年 - 1810年）である。
なかでもヴィルヘルミーナの才能はガウスに近いものがあったと言われているが、
彼女も若くして亡くなってしまう。
省10

229(1): 2020/10/29(木)22:38 ID:Cgg5fjoN(1) AAS
ガウスが>>173の「ガウスの二項係数」をどう思いついたか定かではないのですが
自然に導出する契機は分かりました。
要は、非可換な変数に関する二項定理と考えられるんですね。
XとYが非可換で、YX=qXYをみたすとして
(X+Y)^nを展開すると、自然に現れる。

230: 2020/10/30(金)20:03 ID:iuPqYV+w(1/21) AAS
>>229
なるほど・・・ただ、ガウスが非可換性を意識してたかどうかはわかりませんね

231: 2020/10/30(金)20:05 ID:iuPqYV+w(2/21) AAS
さて、ガウスの次はこの人をとりあげる

ベルンハルト・リーマン
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org

ゲオルク・フリードリヒ・ベルンハルト・リーマン
（ドイツ語: Georg Friedrich Bernhard Riemann,
　1826年9月17日 - 1866年7月20日）は、
ドイツの数学者。解析学、幾何学、数論の分野で業績を上げた。
省4

232: 2020/10/30(金)20:06 ID:iuPqYV+w(3/21) AAS
ベルンハルト・リーマンは
ハノーファー王国ダンネンベルク (Dannenberg) 近くの小村
ブレゼレンツ (Breselenz) に牧師の息子として生まれた。

233: 2020/10/30(金)20:06 ID:iuPqYV+w(4/21) AAS
1847年に、ゲッティンゲン大学に入学、
カール・フリードリヒ・ガウスと初めて出会った。

234: 2020/10/30(金)20:07 ID:iuPqYV+w(5/21) AAS
同年ベルリン大学に移り、
ペーター・グスタフ・ディリクレ、
カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ、
フェルディナント・ゴットホルト・マックス・アイゼンシュタイン
から楕円関数論や偏微分方程式論を学んだ。

235: 2020/10/30(金)20:07 ID:iuPqYV+w(6/21) AAS
1849年にゲッティンゲン大学に戻り、1851年にガウスのもとで
論文「1複素変数関数の一般理論の基礎づけ」を提出して博士号を取得

236: 2020/10/30(金)20:08 ID:iuPqYV+w(7/21) AAS
1854年には「幾何学の基礎にある仮説について」で大学教授資格を取得した。

237: 2020/10/30(金)20:09 ID:iuPqYV+w(8/21) AAS
ガウスは若い数学者をほとんど評価しなかったが、
リーマン幾何学に関する講演は高く賞賛した。

238: 2020/10/30(金)20:09 ID:iuPqYV+w(9/21) AAS
1857年に予備教授となり、1859年にディリクレの後継者として正教授になった。

239: 2020/10/30(金)20:10 ID:iuPqYV+w(10/21) AAS
1862年に妹の友人エリーゼ・コッホと結婚し娘が生まれたが、
この時期から結核の病状が悪化してイタリアで療養するようになった。

240: 2020/10/30(金)20:11 ID:iuPqYV+w(11/21) AAS
1866年、旅の途中にマッジョーレ湖の近くで39歳で亡くなった。

241: 2020/10/30(金)20:15 ID:iuPqYV+w(12/21) AAS
リーマンといえば、リーマン面
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数学、特に複素解析においてリーマン面（Riemann surface）とは、
連結な複素 1 次元の複素多様体のことである。
ベルンハルト・リーマンにちなんで名付けられた。
リーマン面は、複素平面を変形したものと考えられる。
各点の近くで局所的には、複素平面の部分に似ているが、
省2

242: 2020/10/30(金)20:16 ID:iuPqYV+w(13/21) AAS
リーマン面の主要な意味合いは、正則関数がそこで定義できることである。
今日、リーマン面は正則関数、特に、平方根や自然対数等の多価関数の
大域的振る舞いを研究するための自然な土台と考えられている。

243: 2020/10/30(金)20:17 ID:iuPqYV+w(14/21) AAS
全てのリーマン面は向きづけ可能な実 2 次元の実解析的多様体（従って曲面）であって、
正則関数を一義的に定義するために必要な追加的構造（特に複素構造）を含む。
2 次元実多様体は、それが向き付け可能な場合、かつその場合に限り、
（通常は、等価でない複数の方法により）リーマン面にすることができる。
従って、球面やトーラスは複素構造を持ち得るが、
メビウスの輪、クラインの壺および射影平面は持ち得ない。

244: 2020/10/30(金)20:18 ID:iuPqYV+w(15/21) AAS
リーマン面は、でき得る限り良い特性を有しているという幾何学的事実から、
他の曲線、多様体または代数多様体に対し一般化の直感および動機をしばしばもたらす。
リーマン・ロッホの定理は、この影響の第一の例である。

245: 2020/10/30(金)20:18 ID:iuPqYV+w(16/21) AAS
コンパクトなリーマン面の理論は、複素数上に定義される
非特異な射影的代数曲線の理論と等価である。

246: 2020/10/30(金)20:23 ID:iuPqYV+w(17/21) AAS
代数曲線
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複素曲線と実曲面

（複素代数曲線の）位相次元は 2、つまり曲面になる。
この曲面の位相的種数（つまりハンドル体やドーナツ穴の数）は、
代数曲線の幾何種数に等しく、代数的な意味で計算することができる。

次数 d の非特異曲線の平面射影を考えるとき、
省3

247: 2020/10/30(金)20:24 ID:iuPqYV+w(18/21) AAS
楕円曲線
楕円曲線を有理点を持つ種数 1 の任意の曲線として定義することができる。
よく用いられるモデルは非特異平面三次曲線で、
これは種数 1 の任意の曲線のモデルとして十分である。

248: 2020/10/30(金)20:26 ID:iuPqYV+w(19/21) AAS
種数 1 より大きな曲線
1 より大きな種数を持つ曲線は有理曲線とも楕円曲線とも著しく異なる。
有理数体上定義されたそのような曲線は、
ファルティングスの定理により有理点を有限個しか持たず、
またそのような曲線は双曲幾何構造を持つものと見ることができる。
例として、超楕円曲線、クラインの四次曲線、
フェルマー曲線 x^n + y^n = z^n (n ≥ 3) などが挙げられる。

249: 2020/10/30(金)20:44 ID:iuPqYV+w(20/21) AAS
代数曲線のモジュラス
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In algebraic geometry, a moduli space of (algebraic) curves is a geometric space
(typically a scheme or an algebraic stack) whose points represent isomorphism
classes of algebraic curves.
It is thus a special case of a moduli space. Depending on the restrictions
applied to the classes of algebraic curves considered, the corresponding
省11

250: 2020/10/30(金)20:46 ID:iuPqYV+w(21/21) AAS
The most basic problem is that of moduli of smooth complete curves
of a fixed genus. Over the field of complex numbers these correspond
precisely to compact Riemann surfaces of the given genus, for which
Bernhard Riemann proved the first results about moduli spaces,
in particular their dimensions ("number of parameters on which
the complex structure depends").

最も基本的な問題は、固定種数の滑らかな完全曲線のモジュライの問題である。
省4

251(1): 2020/10/31(土)08:59 ID:CLm9DCft(1/5) AAS
タイヒミュラー空間
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Moduli spaces for Riemann surfaces and related Fuchsian groups have been studied since the work of Bernhard Riemann (1826-1866), who knew that 6g-6 parameters were needed to describe the variations of complex structures on a surface of genus ｇ>= 2.
The early study of Teichmüller space, in the late nineteenth–early twentieth century, was geometric and founded on the interpretation of Riemann surfaces as hyperbolic surfaces.
Among the main contributors were Felix Klein, Henri Poincaré, Paul Koebe, Jakob Nielsen, Robert Fricke and Werner Fenchel.

リーマン曲面とそれに関連するフックス群のためのモジュライ空間は、種数g>=2の曲面上の複雑な構造の変化を記述するために6g-6のパラメータが必要であることを知っていたBernhard Riemann (1826-1866)の仕事以来、研究されてきた。
19世紀後半から20世紀初頭にかけてのタイヒミュラー空間の初期の研究は、幾何学的なものであり、リーマン曲面を双曲面として解釈することに基づいていた。
省1

252(1): 2020/10/31(土)09:03 ID:CLm9DCft(2/5) AAS
The main contribution of Teichmüller to the study of moduli was the introduction of quasiconformal mappings to the subject.
They allow us to give much more depth to the study of moduli spaces by endowing them with additional features that were not present in the previous, more elementary works.
After World War II the subject was developed further in this analytic vein, in particular by Lars Ahlfors and Lipman Bers.
The theory continues to be active, with numerous studies of the complex structure of Teichmüller space (introduced by Bers).

タイヒミュラーのモジュライ研究への主な貢献は、擬等角写像の導入であった。
これにより、それまでの初歩的な研究にはなかった付加的な特徴を与え、モジュライ空間の研究に深みを与えることができるようになった。
第二次世界大戦後、主題はこの分析的な流れの中で、特にLars AhlforsとLipman Bersによってさらに発展した。
省1

253(1): 2020/10/31(土)09:09 ID:CLm9DCft(3/5) AAS
The geometric vein in the study of Teichmüller space was revived following the work of William Thurston in the late 1970s, who introduced a geometric compactification which he used in his study of the mapping class group of a surface.
Other more combinatorial objects associated to this group (in particular the curve complex) have also been related to Teichmüller space, and this is a very active subject of research in geometric group theory.

タイヒミュラー空間の研究における幾何学的な脈絡は、曲面の写像類群の研究で使用した幾何学的なコンパクト化を導入した1970年代後半のウィリアム・サーストンの仕事によって復活しました。
このグループに関連する他のより多くの組合せ対象（特に複素曲線）もまた、タイヒミュラー空間に関連しており、これは幾何学的群論の研究の非常に活発な主題である。

254: 2020/10/31(土)09:13 ID:CLm9DCft(4/5) AAS
>>251-253　まとめ
・「タイヒミュラー空間」を見つけたのは、タイヒミュラーじゃなくてリーマン
・タイヒミュラーがやったのは、擬等角写像の導入
・写像類群による（トポロジー的な）研究を始めたのはサーストン

255: 2020/10/31(土)16:44 ID:CLm9DCft(5/5) AAS
写像類群
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The mapping class groups of surfaces have been heavily studied, and are sometimes called Teichmüller modular groups (note the special case of MCG(T^2) above), since they act on Teichmüller space and the quotient is the moduli space of Riemann surfaces homeomorphic to the surface.
These groups exhibit features similar both to hyperbolic groups and to higher rank linear groups.
They have many applications in Thurston's theory of geometric three-manifolds (for example, to surface bundles).
The elements of this group have also been studied by themselves: an important result is the Nielsen–Thurston classification theorem, and a generating family for the group is given by Dehn twists which are in a sense the "simplest" mapping classes.
Every finite group is a subgroup of the mapping class group of a closed, orientable surface, in fact one can realize any finite group as the group of isometries of some compact Riemann surface (which immediately implies that it injects in the mapping class group of the underlying topological surface).
省5

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