純粋・応用数学 5

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189: １３２人目の素数さん [] 2020/10/27(火) 19:08:14 ID:RdShKY6k

リゾルベント

https://en.wikipedia.org/wiki/Resolvent_(Galois_theory)

In Galois theory, a discipline within the field of abstract algebra, a resolvent for a permutation group G is a polynomial whose coefficients depend polynomially on the coefficients of a given polynomial p and has, roughly speaking, a rational root if and only if the Galois group of p is included in G. More exactly, if the Galois group is included in G, then the resolvent has a rational root, and the converse is true if the rational root is a simple root.

抽象代数学の一分野であるガロア理論では、順列群Gに対するレゾルベントとは、係数が多項式pの係数に多項式的に依存する多項式であり、pのガロア群がGに含まれる場合にのみ、大まかに言えば有理根を持つものである。

Nowadays they are still a fundamental tool to compute Galois groups. The simplest examples of resolvents are

・X^2-Delta   where Delta is the discriminant, which is a resolvent for the alternating group. In the case of a cubic equation, this resolvent is sometimes called the quadratic resolvent; its roots appear explicitly in the formulas for the roots of a cubic equation.
The cubic resolvent of a quartic equation, which is a resolvent for the dihedral group of 8 elements.
The Cayley resolvent is a resolvent for the maximal resoluble Galois group in degree five. It is a polynomial of degree 6.

今ではまだガロア群を計算するための基本的なツールとなっています。リゾルベントの最も単純な例は
・X^2-Delta ここで、Deltaは判別子であり、交代群の利ゾルベントである。
　3次方程式の場合，このリゾルベントは2次リゾルベントと呼ばれることがある．
　その根は，3次方程式の根の公式の中に明示的に現れる．
・四分方程式の三次レゾルベントは、8要素の二面体群のためのレゾルベントである。
・ケイリーレゾルベントは、5次の最大可解ガロア群のレゾルベントである。
　次数6の多項式である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1601979409/189

190: １３２人目の素数さん [] 2020/10/27(火) 19:21:37 ID:RdShKY6k

五次関数　＃解ける五次関数
https://en.wikipedia.org/wiki/Quintic_function#Solvable_quintics

To characterize solvable quintics, and more generally solvable polynomials of higher degree, Évariste Galois developed techniques which gave rise to group theory and Galois theory. Applying these techniques, Arthur Cayley found a general criterion for determining whether any given quintic is solvable. This criterion is the following.

可解な五次式、より一般的には高次の可解な多項式を特徴づけるために、 Évariste Galoisは群論とGalois理論を生み出した技術を開発した。これらの技術を応用して、アーサー・ケイリーは、与えられた五次式が解けるかどうかを判断するための一般的な基準を発見した。 この基準は以下の通りである。

quintics are solvable by radicals if and only if either they are factorisable in equations of lower degrees with rational coefficients or the polynomial named Cayley's resolvent, has a rational root in z

五項式は，有理な係数を持つ低次の方程式で因数分解可能であるか，ケイリーのリゾルベントと呼ばれる多項式がzの有理根を持つ場合に限り，根号によって解くことができる．

（注：ケイリーのリゾルベントの式は複雑なのでここでは記さない　リンク参照）

Cayley's result allows us to test if a quintic is solvable. If it is the case, finding its roots is a more difficult problem, which consists of expressing the roots in terms of radicals involving the coefficients of the quintic and the rational root of Cayley's resolvent.

ケイリーの結果は，五次式が解けるかどうかを調べることを可能にしている．もしそうであれば，その根を見つけることはより困難な問題である．これは，根を五次式の係数を含む根号とケイリーのリゾルベントの有理根で表現することからなる．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1601979409/190

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