[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学 5 (255ﾚｽ)
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183: 2020/10/27(火)06:02 ID:RdShKY6k(1/14) AAS
代数学の基本定理（だいすうがくのきほんていり、英: fundamental theorem of algebra）とは、
「次数が 1 以上の任意の複素係数一変数多項式には複素根が存在する」という定理である。
184: 2020/10/27(火)06:03 ID:RdShKY6k(2/14) AAS
実係数の代数方程式は一般に実数の範囲内に解を有するとは限らないが、
係数体に多項式 x2 + 1 の根 i = √−1（虚数単位）というただ 1 つの数を添加すると、
どの代数方程式でもその拡大体上で解ける。
185: 2020/10/27(火)06:03 ID:RdShKY6k(3/14) AAS
そうして得られた複素数を係数とする代数方程式の解も、複素数の範囲に解を持つ。
これが代数学の基本定理の主張である。
186: 2020/10/27(火)06:05 ID:RdShKY6k(4/14) AAS
この定理の主張は、因数定理を帰納的に用いることより
複素係数の任意の n 次多項式は複素根を重複を込めてちょうど n 個持つ
という事実を導くので、このことを指して代数学の基本定理と呼ぶこともある。
187: 2020/10/27(火)06:05 ID:RdShKY6k(5/14) AAS
つまり、任意の複素係数多項式は、複素係数の一次式の冪積に分解できる。
188: 2020/10/27(火)06:06 ID:RdShKY6k(6/14) AAS
代数学の基本定理は、複素数体が、代数方程式による数の拡大体で最大のものであることを示している。
これは、体論の言葉で言えば「複素数体は代数的閉体である」 ということになる。
189: 2020/10/27(火)19:08 ID:RdShKY6k(7/14) AAS
リゾルベント
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
In Galois theory, a discipline within the field of abstract algebra, a resolvent for a permutation group G is a polynomial whose coefficients depend polynomially on the coefficients of a given polynomial p and has, roughly speaking, a rational root if and only if the Galois group of p is included in G. More exactly, if the Galois group is included in G, then the resolvent has a rational root, and the converse is true if the rational root is a simple root.
抽象代数学の一分野であるガロア理論では、順列群Gに対するレゾルベントとは、係数が多項式pの係数に多項式的に依存する多項式であり、pのガロア群がGに含まれる場合にのみ、大まかに言えば有理根を持つものである。
Nowadays they are still a fundamental tool to compute Galois groups. The simplest examples of resolvents are
省10
190: 2020/10/27(火)19:21 ID:RdShKY6k(8/14) AAS
五次関数 ＃解ける五次関数
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
To characterize solvable quintics, and more generally solvable polynomials of higher degree, Évariste Galois developed techniques which gave rise to group theory and Galois theory. Applying these techniques, Arthur Cayley found a general criterion for determining whether any given quintic is solvable. This criterion is the following.
可解な五次式、より一般的には高次の可解な多項式を特徴づけるために、 Évariste Galoisは群論とGalois理論を生み出した技術を開発した。これらの技術を応用して、アーサー・ケイリーは、与えられた五次式が解けるかどうかを判断するための一般的な基準を発見した。 この基準は以下の通りである。
quintics are solvable by radicals if and only if either they are factorisable in equations of lower degrees with rational coefficients or the polynomial named Cayley's resolvent, has a rational root in z
五項式は，有理な係数を持つ低次の方程式で因数分解可能であるか，ケイリーのリゾルベントと呼ばれる多項式がzの有理根を持つ場合に限り，根号によって解くことができる．
省3
191: 2020/10/27(火)19:51 ID:RdShKY6k(9/14) AAS
正直、ベキ根で解くことに固執するのは、不毛
解けるか否か判定するのが面倒な上、
解けるとわかっても解を出すのがさらに面倒
一方ｆがｎ次多項式なら、
ｆはリーマン球面からリーマン球面への写像で
その写像度はｎであるから、重解も含めてｎ個の解を持つ
192: 2020/10/27(火)19:52 ID:RdShKY6k(10/14) AAS
DKA法
外部ﾘﾝｸ[php]:www.slis.tsukuba.ac.jp
ｎ次方程式のｎ個の解を一度に計算する方法
知り合いが研究していたのもこの方法だった
193: 2020/10/27(火)20:09 ID:RdShKY6k(11/14) AAS
写像度
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
写像度（しゃぞうど、degree, mapping degree）とは、
コンパクト、弧状連結、向き付けられた同次元の多様体間での
連続写像を特徴付ける整数のこと。
写像のホモトピー不変量のひとつである。
円周 S＾1上の連続写像 f : S＾1 → S＾1について、
省9
194: 2020/10/27(火)20:17 ID:RdShKY6k(12/14) AAS
球面の間の連続写像の写像度とその応用
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.las.osakafu-u.ac.jp
円周の間の連続写像に「写像度」と呼ばれる整数を対応させることにより,
連続写像の性質を調べるのが本論の目的である.
円周の間の連続写像の写像度とは, 直観的には,
円周上の点が円周を正の向きに 1 周するとき,
その点の像は円周を何回かまわるが,
省11
195: 2020/10/27(火)20:34 ID:RdShKY6k(13/14) AAS
逆数学 と超準的手法: 代数学の基本定理 を題材 として
外部ﾘﾝｸ:www.jstage.jst.go.jp
196: 2020/10/27(火)20:56 ID:RdShKY6k(14/14) AAS
「代数学の基本定理でみる数学の世界」
外部ﾘﾝｸ:togetter.com
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.dropbox.com
どこのどなたか存じませんが、なかなか面白い発表でございます
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