[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学 5 (255ﾚｽ)
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251(1): 2020/10/31(土)08:59 ID:CLm9DCft(1/5) AAS
タイヒミュラー空間
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Moduli spaces for Riemann surfaces and related Fuchsian groups have been studied since the work of Bernhard Riemann (1826-1866), who knew that 6g-6 parameters were needed to describe the variations of complex structures on a surface of genus ｇ>= 2.
The early study of Teichmüller space, in the late nineteenth–early twentieth century, was geometric and founded on the interpretation of Riemann surfaces as hyperbolic surfaces.
Among the main contributors were Felix Klein, Henri Poincaré, Paul Koebe, Jakob Nielsen, Robert Fricke and Werner Fenchel.
リーマン曲面とそれに関連するフックス群のためのモジュライ空間は、種数g>=2の曲面上の複雑な構造の変化を記述するために6g-6のパラメータが必要であることを知っていたBernhard Riemann (1826-1866)の仕事以来、研究されてきた。
19世紀後半から20世紀初頭にかけてのタイヒミュラー空間の初期の研究は、幾何学的なものであり、リーマン曲面を双曲面として解釈することに基づいていた。
省1
252(1): 2020/10/31(土)09:03 ID:CLm9DCft(2/5) AAS
The main contribution of Teichmüller to the study of moduli was the introduction of quasiconformal mappings to the subject.
They allow us to give much more depth to the study of moduli spaces by endowing them with additional features that were not present in the previous, more elementary works.
After World War II the subject was developed further in this analytic vein, in particular by Lars Ahlfors and Lipman Bers.
The theory continues to be active, with numerous studies of the complex structure of Teichmüller space (introduced by Bers).
タイヒミュラーのモジュライ研究への主な貢献は、擬等角写像の導入であった。
これにより、それまでの初歩的な研究にはなかった付加的な特徴を与え、モジュライ空間の研究に深みを与えることができるようになった。
第二次世界大戦後、主題はこの分析的な流れの中で、特にLars AhlforsとLipman Bersによってさらに発展した。
省1
253(1): 2020/10/31(土)09:09 ID:CLm9DCft(3/5) AAS
The geometric vein in the study of Teichmüller space was revived following the work of William Thurston in the late 1970s, who introduced a geometric compactification which he used in his study of the mapping class group of a surface.
Other more combinatorial objects associated to this group (in particular the curve complex) have also been related to Teichmüller space, and this is a very active subject of research in geometric group theory.
タイヒミュラー空間の研究における幾何学的な脈絡は、曲面の写像類群の研究で使用した幾何学的なコンパクト化を導入した1970年代後半のウィリアム・サーストンの仕事によって復活しました。
このグループに関連する他のより多くの組合せ対象（特に複素曲線）もまた、タイヒミュラー空間に関連しており、これは幾何学的群論の研究の非常に活発な主題である。
254: 2020/10/31(土)09:13 ID:CLm9DCft(4/5) AAS
>>251-253 まとめ
・「タイヒミュラー空間」を見つけたのは、タイヒミュラーじゃなくてリーマン
・タイヒミュラーがやったのは、擬等角写像の導入
・写像類群による（トポロジー的な）研究を始めたのはサーストン
255: 2020/10/31(土)16:44 ID:CLm9DCft(5/5) AAS
写像類群
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
The mapping class groups of surfaces have been heavily studied, and are sometimes called Teichmüller modular groups (note the special case of MCG(T^2) above), since they act on Teichmüller space and the quotient is the moduli space of Riemann surfaces homeomorphic to the surface.
These groups exhibit features similar both to hyperbolic groups and to higher rank linear groups.
They have many applications in Thurston's theory of geometric three-manifolds (for example, to surface bundles).
The elements of this group have also been studied by themselves: an important result is the Nielsen–Thurston classification theorem, and a generating family for the group is given by Dehn twists which are in a sense the "simplest" mapping classes.
Every finite group is a subgroup of the mapping class group of a closed, orientable surface, in fact one can realize any finite group as the group of isometries of some compact Riemann surface (which immediately implies that it injects in the mapping class group of the underlying topological surface).
省5
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