Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49

[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞
抽出解除ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

440: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/13(火) 18:18:13.41 ID:t1UkFUbE

>>436
>だから君の言う得られる結果の例にはディオファントス方程式の近似であるトゥエは含まれないだろって

??
下記では、abc conjectureから、 "3 Some consequences Roth's theorem on diophantine approximation of algebraic numbers.[5]"
となっているぜ
なお、[5] Bombieri, Enrico (1994)は、検索ヒットしないが、代わりに ”MACHIEL VAN FRANKENHUYSEN”1998をどぞ

https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture
abc conjecture
3 Some consequences
・Roth's theorem on diophantine approximation of algebraic numbers.[5]
[5] Bombieri, Enrico (1994). "Roth's theorem and the abc-conjecture". Preprint. ETH Zurich.

http://swc.math.arizona.edu/aws/1998/ The Southwest Center for Arithmetic Geometry Arizona Winter School 1998
http://swc.math.arizona.edu/aws/1998/98ContribA.html Arizona Winter School 1998 Contributed Abstracts
Frankenhuysen: abc implies Roth's theorem and Mordell's conjecture
By recent work of Elkies (1991), abc implies effective Mordell. And in 1994, Bombieri showed that abc implies Roth's theorem about approximation of an algebraic number by rationals. The proofs of these two theorems are very similar. In this talk, I compare the two proofs. I will also show how a stronger form of Roth's theorem could follow from ABC.
http://swc.math.arizona.edu/aws/1998/98Frankenhuysen.pdf
THE ABC CONJECTURE IMPLIES ROTH’S THEOREM AND MORDELL’S CONJECTURE
MACHIEL VAN FRANKENHUYSEN
Abstract. We present in a unified way proofs of Roth’s theorem and an
effective version of Mordell’s conjecture, using the ABC conjecture. We also
show how certain stronger forms of the ABC conjecture give information about
the type of approximation to an algebraic number.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/440

444: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/13(火) 20:43:54.76 ID:Nk0YN5V9

>>436
>だから君の言う得られる結果の例にはディオファントス方程式の近似であるトゥエは含まれないだろ

そうか！
おぬし、下記 ディオファントス方程式の ”トゥエ方程式 f (x, y) = k （f (x, y) は3次以上の斉次既約多項式）”と
　>>443 ”トゥエ＝ジーゲル＝ロスの定理 代数的数のディオファントス近似に関する定理”とを
混同したのかな？ どちらも”トゥエ”が冠されているけどな。別ものだろ！？（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%AA%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%88%E3%82%B9%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
ディオファントス方程式

特殊例
ディオファントス方程式の特殊例には以下のようなものがある。

楕円曲線 y2 = f (x) （f (x) は重根をもたない、3次または4次の多項式）
数論の中心的課題の一つである。とくに有理数解についての構造定理（モーデルの定理）がある。整数解は有限個しか存在せず、原理的には全ての整数解を求めることが可能。有限体上の楕円曲線の構造も考察されており、暗号理論などに応用されている。

トゥエ方程式 f (x, y) = k （f (x, y) は3次以上の斉次既約多項式）
整数解は有限個しか存在せず、原理的には全ての整数解を求めることが可能。この曲線の次数が3ならば楕円曲線と双有理同値になる。次数が4以上ならば、ファルティングスの定理により、有理数解も有限個しか存在しないが、それを全て求めることができるとは限らない。

課題
現在では、すべての方程式について整数範囲での一般解法は存在しないことが証明されている。整数解の存在判定に限定しても、9変数の一般的判定法が存在しないことがすでに証明されている。2変数の一般的判定法も未知である（種数1の場合、および yk = f (x) の形の方程式については原理的には判定可能である）。また、有理数範囲での一般的判定方法が存在するかどうかも未知である。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/444

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.028s