Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49

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420: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/12(月) 22:07:46.47 ID:uhfnmhnr

>>419
IUTでABCが証明できるなら
下記の トゥエ＝ジーゲル＝ロスの定理 以下、ごっそり証明できる
これほどのインパクトのあるABC予想が証明できるなら、IUTが忘れ去られるとか無視されるって、ありえないでしょ

https://ja.wikipedia.org/wiki/ABC%E4%BA%88%E6%83%B3
ABC予想

得られる結果の例
abc予想を真だと仮定すると多数の系が得られる。その中には既に知られている結果もあれば（予想の提出後に予想とは独立に証明されたものもある）

トゥエ＝ジーゲル＝ロスの定理
代数的数のディオファントス近似に関する定理

フェルマーの最終定理
ただし指数が十分大きい場合（どの程度大きければよいかは K(ε) に依る）

モーデル予想（ファルティングスの定理）
(Elkies 1991)

エルデシュ＝ウッズ予想（英語版）
ただし有限個の反例を除く (Langevin 1993)

非ヴィーフェリッヒ素数（英語版）が無限個存在すること
(Silverman 1988)。

弱い形のマーシャル・ホール予想（英語版）
平方数と立方数の間隔に関する予想 (Nitaj 1996)。

フェルマー＝カタラン予想
フェルマーの最終定理の拡張であり、冪の和である冪を扱う (Pomerance 2008)

ルジャンドル記号を用いて記述したディリクレのL関数 L(s, (-d/.)) がジーゲル零点（英語版）を持たないこと
（正確には、このためには上で紹介している有理整数を扱うabc予想に加えて、代数体上の一様な abc予想を用いる。）(Granville & Stark 2000)。

Schinzel?Tijdeman theorem
P を少なくとも3つ以上の単根を持つ多項式とすると、P(1)，P(2)，P(3), … の中には高々有限個しか累乗数が存在しない、という定理 (1976)[32]。

ティーデマンの定理（英語版）の一般化
ym = xn + k が持つ解の個数について。ティーデマンの定理は k = 1 の場合を述べている。また、Aym = Bxn + k が持つ解の個数に関するピライ予想 (1931)。

グランヴィル＝ランジュバン予想（英語版）と同値

修正したスピロ予想。
これは境界として    rad (abc)^6/5+εを与える (Oesterle 1988)

任意の整数A について、n! + A = k2 が有限個の解しか持たないこと（一般化されたブロカールの問題）(D?browski 1996)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/420

443: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/13(火) 20:25:09.11 ID:Nk0YN5V9

>>440 補足
>だから君の言う得られる結果の例にはディオファントス方程式の近似であるトゥエは含まれないだろって

繰返す

ABC予想から得られる結果の例に、”トゥエ＝ジーゲル＝ロスの定理 代数的数のディオファントス近似に関する定理”
含まれているよね！！（下記の通り）（＾＾

(>>420)
https://ja.wikipedia.org/wiki/ABC%E4%BA%88%E6%83%B3
ABC予想
得られる結果の例
abc予想を真だと仮定すると多数の系が得られる。その中には既に知られている結果もあれば（予想の提出後に予想とは独立に証明されたものもある）
トゥエ＝ジーゲル＝ロスの定理
代数的数のディオファントス近似に関する定理

(>>440-441)
https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture
abc conjecture
3 Some consequences
・Roth's theorem on diophantine approximation of algebraic numbers.[5]
[5] Bombieri, Enrico (1994). "Roth's theorem and the abc-conjecture". Preprint. ETH Zurich.

http://swc.math.arizona.edu/aws/1998/98Frankenhuysen.pdf
THE ABC CONJECTURE IMPLIES ROTH’S THEOREM AND MORDELL’S CONJECTURE
MACHIEL VAN FRANKENHUYSEN
1. Introduction
In 1991, Noam D. Elkies showed that the ABC conjecture implies Mordell’s
conjecture [5]. And in 1994, Enrico Bombieri showed that the ABC conjecture
implies Roth’s theorem about Diophantine approximation of algebraic numbers [3].
The proofs of these two implications are very similar (see §§6.4, 6.7), and in §6.8,
we formulate a theorem that implies both Roth’s theorem and Mordell’s conjecture.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/443

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