Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49

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432: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/10/13(火) 14:43:13.41 ID:t1UkFUbE

>>431
大体が、数学理論というのは、そういうものだろう
ガロア理論を、古代の形式で学ぶ人は、いま殆どいない
デデキントにより、現代的な抽象代数学の形式が考えられ、”アルティンによってガロア理論の線型代数学的な定式化が追求された”という
いま、殆どはアルティン流でしょ

IUTもそうなるよ
素人は慌てなさんな

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
ガロア理論は、代数方程式や体の構造を "ガロア群" と呼ばれる群を用いて記述する理論。1830年代のエヴァリスト・ガロアによる代数方程式の冪根による可解性などの研究が由来。ガロアは当時、まだ確立されていなかった群や体の考えを方程式の研究に用いていた
ガロア理論によれば、“ガロア拡大”と呼ばれる体の代数拡大について、拡大の自己同型群の閉部分群と、拡大の中間体との対応関係を記述することができる

歴史
ガロアは1832年の（死の原因となる）決闘の前日に、友人のオーギュスト・シュヴァリエに宛てて、ガロア理論と楕円関数論に関する数学的業績を要約した手紙を書いた。その後、1846年になって、リウヴィルがガロアの功績を知って自分の雑誌にガロアの論文集を掲載したことで、多くの数学者が刺激を受けることになった。デデキントは1855年から1857年にかけてゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義をおこなった[2]。そのとき、デデキントはガロアの理論を「ガロア理論」（独: Galois-Theorie）と名づけた[3]。早い時期に、ベッチ、クロネッカー、ケイリー、セレは群概念を厳密化していった。カミーユ・ジョルダンによって1870年に発表された『置換と代数方程式論』 はガロア理論に関する包括的な解説として最も古いものである。1871年にデデキントは四則演算で閉じた（数の）集合を「体」（独: Korper）と名づけた。また、デデキントとウェーバー（英語版）は1882年に代数関数体とリーマン面の代数的理論を構築した[2]。

ソフス・リーによって導入されたリー群はガロア理論の類似を微分方程式に対して確立しようという試みの中から生まれたとされている。その後、エミール・アルティンによってガロア理論の線型代数学的な定式化が追求された[4][5]。アレクサンダー・グロタンディークによって圏論的な定式化と数論幾何・代数幾何への応用が押し進められた

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/432

434: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/13(火) 15:06:38.42 ID:t1UkFUbE

>>430
ありがとう

a , b, cを自然数として
要するに、下記フェルマーの最終定理 n≧3 a^n + b^n = c^n のとき 下記のフライの楕円曲線 y^2 = x(x - a^n)(x + b^n) の話に翻訳できて、下記の筋になる
で、ここでn=1とすると、a^1 + b^1 = c^1 で 同様に 楕円曲線 y^2 = x(x - a^1)(x + b^1) の話に翻訳できて、同様にabc予想の話になる

つまりは、a + b = c というありふれたディオファントス方程式を、楕円曲線 y^2 = x(x - a)(x + b)の理論に翻訳することで、a , b, cの関係が見えてくるってこと
だから、IUTがやっているのは、あくまでも、主として楕円曲線の上の話であって、一般のディオファントスの話ではないのです

楕円曲線は、まだまだ人類が分かっていない分野で
現代数学の最前線の研究テーマでもあるのです

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86
フェルマーの最終定理

フェルマーの最終定理（フェルマーのさいしゅうていり、Fermat's Last Theorem）とは、3 以上の自然数 n について、x^n + y^n = z^n となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない、という定理のことである[注釈 1]。

フライ・セール予想
1984年にゲルハルト・フライはフェルマーの最終定理に対する反例 a^n + b^n = c^n からはモジュラーでない楕円曲線（フライ曲線）：
y^2 = x(x - a^n)(x + b^n)
が得られ、これは谷山?志村予想に対する反例を与えることになるというアイディアを提示。ジャン＝ピエール・セールによって定式化されたこの予想はフライ・セールのイプシロン予想と呼ばれ、1986年にケン・リベットによって証明された。

これらの経過は以下のように整理することができる。
1.まず、フェルマー予想が偽である（フェルマー方程式が自然数解をもつ）と仮定する。
2.この自然数解からは、モジュラーでない楕円曲線を作ることができる
3.しかし、谷山?志村予想が正しいならば、モジュラーでない楕円曲線は存在しない
4.矛盾が導かれたので、当初の仮定が誤っていることとなる
5.したがって、フェルマー予想は真である（背理法）

つまり、谷山?志村予想が証明されたならば、それはフェルマーの最終定理が証明されたことをも意味するのである

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/434

440: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/13(火) 18:18:13.41 ID:t1UkFUbE

>>436
>だから君の言う得られる結果の例にはディオファントス方程式の近似であるトゥエは含まれないだろって

??
下記では、abc conjectureから、 "3 Some consequences Roth's theorem on diophantine approximation of algebraic numbers.[5]"
となっているぜ
なお、[5] Bombieri, Enrico (1994)は、検索ヒットしないが、代わりに ”MACHIEL VAN FRANKENHUYSEN”1998をどぞ

https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture
abc conjecture
3 Some consequences
・Roth's theorem on diophantine approximation of algebraic numbers.[5]
[5] Bombieri, Enrico (1994). "Roth's theorem and the abc-conjecture". Preprint. ETH Zurich.

http://swc.math.arizona.edu/aws/1998/ The Southwest Center for Arithmetic Geometry Arizona Winter School 1998
http://swc.math.arizona.edu/aws/1998/98ContribA.html Arizona Winter School 1998 Contributed Abstracts
Frankenhuysen: abc implies Roth's theorem and Mordell's conjecture
By recent work of Elkies (1991), abc implies effective Mordell. And in 1994, Bombieri showed that abc implies Roth's theorem about approximation of an algebraic number by rationals. The proofs of these two theorems are very similar. In this talk, I compare the two proofs. I will also show how a stronger form of Roth's theorem could follow from ABC.
http://swc.math.arizona.edu/aws/1998/98Frankenhuysen.pdf
THE ABC CONJECTURE IMPLIES ROTH’S THEOREM AND MORDELL’S CONJECTURE
MACHIEL VAN FRANKENHUYSEN
Abstract. We present in a unified way proofs of Roth’s theorem and an
effective version of Mordell’s conjecture, using the ABC conjecture. We also
show how certain stronger forms of the ABC conjecture give information about
the type of approximation to an algebraic number.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/440

441: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/13(火) 18:18:41.59 ID:t1UkFUbE

>>440
つづき

1. Introduction
In 1991, Noam D. Elkies showed that the ABC conjecture implies Mordell’s
conjecture [5]. And in 1994, Enrico Bombieri showed that the ABC conjecture
implies Roth’s theorem about Diophantine approximation of algebraic numbers [3].
The proofs of these two implications are very similar (see §§6.4, 6.7), and in §6.8,
we formulate a theorem that implies both Roth’s theorem and Mordell’s conjecture.
We formulate the ABC conjecture in §2. In §2.4, we introduce the ‘type function’,
which allows us to formulate certain stronger forms of the ABC conjecture.

https://en.wikipedia.org/wiki/Roth%27s_theorem
Roth's theorem

Roth's theorem is a fundamental result in diophantine approximation to algebraic numbers. It is of a qualitative type, stating that algebraic numbers cannot have many rational number approximations that are 'very good'. Over half a century, the meaning of very good here was refined by a number of mathematicians, starting with Joseph Liouville in 1844 and continuing with work of Axel Thue (1909), Carl Ludwig Siegel (1921), Freeman Dyson (1947), and Klaus Roth (1955).

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%82%A5%E3%82%A8%E3%83%BB%E3%82%B8%E3%83%BC%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
トゥエ・ジーゲル・ロスの定理

トゥエ・ジーゲル・ロスの定理（英: Thue?Siegel?Roth theorem）、あるいは単にロスの定理 (Roth's theorem) は、代数的数に対するディオファントス近似における基本的な定理である。定量的な定理であり、与えられた代数的数 α が「非常に良い」有理数近似をそれほど多くは持たないかもしれないというものである。半世紀以上に渡って、この「非常に良い」の意味は多くの数学者によって改良されていった。はじめは1844年にジョゼフ・リウヴィルによって、そして Axel Thue (1909), Carl Ludwig Siegel (1921), Freeman Dyson (1947), Klaus Roth (1955) らの仕事が続いた。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/441

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