Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49

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432: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/10/13(火) 14:43:13.41 ID:t1UkFUbE

>>431
大体が、数学理論というのは、そういうものだろう
ガロア理論を、古代の形式で学ぶ人は、いま殆どいない
デデキントにより、現代的な抽象代数学の形式が考えられ、”アルティンによってガロア理論の線型代数学的な定式化が追求された”という
いま、殆どはアルティン流でしょ

IUTもそうなるよ
素人は慌てなさんな

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
ガロア理論は、代数方程式や体の構造を "ガロア群" と呼ばれる群を用いて記述する理論。1830年代のエヴァリスト・ガロアによる代数方程式の冪根による可解性などの研究が由来。ガロアは当時、まだ確立されていなかった群や体の考えを方程式の研究に用いていた
ガロア理論によれば、“ガロア拡大”と呼ばれる体の代数拡大について、拡大の自己同型群の閉部分群と、拡大の中間体との対応関係を記述することができる

歴史
ガロアは1832年の（死の原因となる）決闘の前日に、友人のオーギュスト・シュヴァリエに宛てて、ガロア理論と楕円関数論に関する数学的業績を要約した手紙を書いた。その後、1846年になって、リウヴィルがガロアの功績を知って自分の雑誌にガロアの論文集を掲載したことで、多くの数学者が刺激を受けることになった。デデキントは1855年から1857年にかけてゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義をおこなった[2]。そのとき、デデキントはガロアの理論を「ガロア理論」（独: Galois-Theorie）と名づけた[3]。早い時期に、ベッチ、クロネッカー、ケイリー、セレは群概念を厳密化していった。カミーユ・ジョルダンによって1870年に発表された『置換と代数方程式論』 はガロア理論に関する包括的な解説として最も古いものである。1871年にデデキントは四則演算で閉じた（数の）集合を「体」（独: Korper）と名づけた。また、デデキントとウェーバー（英語版）は1882年に代数関数体とリーマン面の代数的理論を構築した[2]。

ソフス・リーによって導入されたリー群はガロア理論の類似を微分方程式に対して確立しようという試みの中から生まれたとされている。その後、エミール・アルティンによってガロア理論の線型代数学的な定式化が追求された[4][5]。アレクサンダー・グロタンディークによって圏論的な定式化と数論幾何・代数幾何への応用が押し進められた

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/432

440: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/13(火) 18:18:13.41 ID:t1UkFUbE

>>436
>だから君の言う得られる結果の例にはディオファントス方程式の近似であるトゥエは含まれないだろって

??
下記では、abc conjectureから、 "3 Some consequences Roth's theorem on diophantine approximation of algebraic numbers.[5]"
となっているぜ
なお、[5] Bombieri, Enrico (1994)は、検索ヒットしないが、代わりに ”MACHIEL VAN FRANKENHUYSEN”1998をどぞ

https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture
abc conjecture
3 Some consequences
・Roth's theorem on diophantine approximation of algebraic numbers.[5]
[5] Bombieri, Enrico (1994). "Roth's theorem and the abc-conjecture". Preprint. ETH Zurich.

http://swc.math.arizona.edu/aws/1998/ The Southwest Center for Arithmetic Geometry Arizona Winter School 1998
http://swc.math.arizona.edu/aws/1998/98ContribA.html Arizona Winter School 1998 Contributed Abstracts
Frankenhuysen: abc implies Roth's theorem and Mordell's conjecture
By recent work of Elkies (1991), abc implies effective Mordell. And in 1994, Bombieri showed that abc implies Roth's theorem about approximation of an algebraic number by rationals. The proofs of these two theorems are very similar. In this talk, I compare the two proofs. I will also show how a stronger form of Roth's theorem could follow from ABC.
http://swc.math.arizona.edu/aws/1998/98Frankenhuysen.pdf
THE ABC CONJECTURE IMPLIES ROTH’S THEOREM AND MORDELL’S CONJECTURE
MACHIEL VAN FRANKENHUYSEN
Abstract. We present in a unified way proofs of Roth’s theorem and an
effective version of Mordell’s conjecture, using the ABC conjecture. We also
show how certain stronger forms of the ABC conjecture give information about
the type of approximation to an algebraic number.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/440

447: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/13(火) 21:11:23.41 ID:Nk0YN5V9

>>446
つづき

https://sites.google.com/site/sendailogichomepage/files/ref Sendai Logic Homepage 資料ページ
https://sites.google.com/site/sendailogichomepage/files/ref/ref_05
Sendai Logic Homepage
ヒルベルトの第１０問題 （『ヒルベルトの２３問題』(日本評論社 1997)より）
歴史，背景について．
(抜粋)
■ はじめに

“n 個の未知数を含む整数係数の多項式 P(x1,x2,..., xn) に対し，
方程式 P(x1,x2,...,xn) = 0（ディオファントス方程式または不定方程式と呼ぶ）が整数解を持つか否かを有限的に判定する方法をみつけよ”
というのがヒルベルトの第10問題である．

原文でもそれ以上の説明はなく，23の問題の中で一番短い設問である．

ヒルベルトは全体の前書きで，
「道で初めて出会った人にも明確に説明できる」のが良問であると言っているが，
その意味でこれは最良の問題の１つであろう．

また，前書きなどに語られているヒルベルトの数学観
（数学全体を１つの大きな有機体と見，それに関する真理は必ず有限的な手段で把握できるという信念）
を端的に表す出題でもある．

そして，もう一つ重要な点は，
この問題にはその半世紀後に興る計算機科学の萌芽が感じられることである．

第10問題そのものは，1970年に否定的に解決されたが，
その周辺には現在も未解決で，しかも数論や計算機科学の重要問題と関連する話題がたくさんある．

■ フェルマー・ワイルスの定理と第10問題

フェルマーの予想はようやく最近ワイルスによって正しいことが証明されたが，
しかしこのように解の有無がわかるディオファントス方程式はむしろ例外的である．

一般に３変数以上のディオファントス方程式を解く有力な方法はまったく見つかっておらず，
たとえば， x^3 + y^3 + z^3 - 3 = 0 が (1, 1, 1), (4, 4, -5)とその並び換え以外の整数解を持つかどうかはわかっていない．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/447

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