[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 (548ﾚｽ)

現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/

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67: １３２人目の素数さん [sage] 2020/07/31(金) 11:40:59.68 ID:Trt2z5f1 >>65 補足 確率論で問題になる「確率測度として成り立っていない」ケースに二つある １．一つは、時枝記事にあるような、ヴィタリ集合的なもの ２．もう一つは、非正則分布になるもの。つまり、全事象の積分あるいは和が、無限大に発散する分布になるとき 　このとき、全事象の確率は1であるというコルモゴロフの確率の公理に反しています ３．補足すれば、積分がある有限Mになれば、Mで割って、M→1とできて、各事象は1/Mとかにできます 　ところが、M→∞なら、1/M→0ですから、0をいくら集めても、積分しても、全事象を1に出来ないのです（矛盾と考えることもできる） ４．時枝記事の「確率測度として成り立っていない」というは、”ヴィタリ”ではなく、「非正則分布になる」という問題なのです （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88 ヴィタリ集合 (抜粋) ヴィタリ集合（ヴィタリしゅうごう）とはジュゼッペ・ヴィタリ（英語版）(Giuseppe Vitali (1905))によって作られたルベーグ不可測な実数集合の基本的な例である。 https://ai-trend.jp/basic-study/bayes/improper_prior/ AVILEN Inc 2020/04/14 非正則事前分布とは？〜完全なる無情報事前分布〜 (抜粋) 非正則分布は確率分布ではない！？ 非正則な分布とは、一様分布の範囲を無限に広げた分布のことです。（注：正確には、”ようなもの”で、これに限りません） 積分値が無限大に発散してしまいます。これは、全事象の確率は1であるというコルモゴロフの確率の公理に反しています。 よって、厳密には、非正則な分布は確率密度関数ではありません。なぜなら、確率の公理を満たしていないからです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/67

68: １３２人目の素数さん [sage] 2020/07/31(金) 12:03:50.58 ID:Trt2z5f1 >>67 補足の補足 さらに補足します １．時枝では、決定番号が、非正則な分布になります 　つまり、決定番号は自然数ですが、数列が可算無限という設定ですので 　決定番号は自然数N全体を渡ります。これが、問題です ２．例えば、宝くじでいえば、発行枚数M枚で、番号を１〜M番までとして 　一等賞１枚、二等賞を10枚とします。発行枚数Mが有限なら、確率的取り扱いができます ３．ところが、M→∞とすると、「確率測度として成り立っていない」ことになります 　つまり、無限枚発行したら、当る確率は0。本来、二等賞は、一等賞の10倍の確率で当たるはず 　ところが、1/10という計算が正当化されません。なぜなら、二等賞も、一等賞も、当たる確率0ですから ４．このように、全事象が無限大になるときは、要注意なのです 　因みに、正規分布のように、分布のすそが減衰する場合、ｘ→∞で、急速に0に減衰する場合、積分値は有限になります 　このような場合には、正則分布であり、「確率測度として成り立っている！」となります 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/68

71: １３２人目の素数さん [sage] 2020/07/31(金) 13:18:06.86 ID:Trt2z5f1 （>>28より再録） https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice Probabilities in a riddle involving axiom of choice Denis氏 Dec 9 '13 (抜粋) answered Dec 9 '13 at 17:37 Math Dr. Tony Huynh氏 ・・・If it were somehow possible to put a 'uniform' measure on the space of all outcomes, then indeed one could guess correctly with arbitrarily high precision, but such a measure doesn't exist. (引用終り) Math Dr. Tony Huynh氏も分かっている ”If it were somehow possible to put a 'uniform' measure on the space of all outcomes, then indeed one could guess correctly with arbitrarily high precision, but such a measure doesn't exist.” つまり ”If it were somehow possible to put a 'uniform' measure on the space of all outcomes”が実現できれば なのだが 'uniform' measure＝一様分布 （「一様分布」は、>>67の非正則事前分布の説明に出てくるね） Math Dr. Tony Huynh氏も分かっているね 時枝における、「確率測度として成り立っていない！」は、ヴィタリ集合的なものではなく、 （全事象の積分ないし和が無限大に発散する）「非正則分布になる」ので、 ”全事象の確率は1であるというコルモゴロフの確率の公理”をうまく満たすことができない ってこと Math Dr. Tony Huynh氏も分かっているねぇ〜（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/71

86: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/08/01(土) 14:19:16.25 ID:4zrQNSRp >>68-69 (引用開始) ２．例えば、宝くじでいえば、発行枚数M枚で、番号を１〜M番までとして 　一等賞１枚、二等賞を10枚とします。発行枚数Mが有限なら、確率的取り扱いができます ３．ところが、M→∞とすると、「確率測度として成り立っていない」ことになります 　つまり、無限枚発行したら、当る確率は0。本来、二等賞は、一等賞の10倍の確率で当たるはず 　ところが、1/10という計算が正当化されません。なぜなら、二等賞も、一等賞も、当たる確率0ですから (引用終り) 繰返すが、上記の発行枚数Mで、M→∞とすると、「確率測度として成り立っていない」ことになります 非正則な分布になります（>>67ご参照） さて M→∞の別な例をあげましょう ブラックジャックというトランプゲームがあります。（下記） これを単純化して、1〜Mの自然数のカードが各1枚ある 単純に大きい数を引いた人が勝ちとする XとYさん２名。 Xさんが先にカードを引く。もし、その数がMなら必勝で、1なら必敗。M/2未満なら勝てる確率が低くなる M/2を基準として、M/2を下回る程度が大きければ、どんどん勝てる確率が低くなる さて、M→∞とする。Xさんが引いたカードの数をxとすると、" x << M/2(M→∞) " なので必敗！ 同じことは、Yさんについても言えるので、矛盾です この矛盾は、M→∞という非正則な分布で確率を考えたことで起こりました M→∞という非正則な分布で確率を考えることは、ダメってことです 時枝の決定番号に同じです。（X,Y二人のカード、x,y という数は存在するが、その確率計算は、非正則な分布を使うので、正当化されない！） QED （＾＾ （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%83%E3%82%AF ブラックジャック（英語: Blackjack）は、トランプを使用するゲームの一種。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/86

92: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/08/02(日) 16:49:54.11 ID:NrBYtRST >>90 補足 時枝記事(>>7 ご参照）では 決定番号dなるものを使う １．決定番号dの範囲は、有限では収まらない。1〜∞ を渡る ２．時枝のキモは、ある有限のＤをうまく選ぶと、確率99/100で、D >= d とできるというもの ３．もし、決定番号dが、正規分布のように、dの大きなところで、早く減衰して、d→∞ で その頻度が0になる場合は、正則分布になり、確率計算は正当化できる ４．一方、時枝記事の決定番号dは、減衰しない。だから、非正則分布になり、確率測度として正当化できず、確率計算に使えない（∵確率の和を1に出来ないなど） 　卑近な例では、>>90で説明したような、試験の点数で 点数の上限がなく、いくらでも高得点者が居るような場合 　ある有限のＤ点を基準として、それより点数に低い人は何パーセントと言っても、いくらでも高得点者が居るような場合は、確率計算に乗りませんね ５．それを、数学的にきちん詳しくと論じているのが、mathoverflowの二人の数学Drです （>>28より再録） https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice Probabilities in a riddle involving axiom of choice Denis氏 Dec 9 '13 (抜粋) answered Dec 9 '13 at 17:37 Math Dr. Tony Huynh氏 ・・・If it were somehow possible to put a 'uniform' measure on the space of all outcomes, then indeed one could guess correctly with arbitrarily high precision, but such a measure doesn't exist. (引用終り) Math Dr. Tony Huynh氏も分かっている ”If it were somehow possible to put a 'uniform' measure on the space of all outcomes, then indeed one could guess correctly with arbitrarily high precision, but such a measure doesn't exist.” つまり ”If it were somehow possible to put a 'uniform' measure on the space of all outcomes”が実現できれば なのだが 'uniform' measure＝一様分布 （「一様分布」は、>>67の非正則事前分布の説明に出てくるね） つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/92

106: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/08/03(月) 07:34:40.64 ID:duI4lbde >>102 補足 >もし、-1 ちょうどか、大きいなら、積分は発散し、非正則な分布になって、確率計算はできません >（ご存知、ベキ数が-1では、その無限和は（あるいは積分は）、発散します（下記、高校数学の美しい物語 ご参照）） >ベキ数が-1 より小さい場合にのみ、積分は収束し、確率計算が可能になります。 時枝の決定番号は、”ベキ数が-1 より小さい”どころか、負べきでさえありません ”ベキ数が正”です 積分（又は和）は発散し、非正則な分布になって、確率計算はできません >>104 補足 時枝さんのやっていることは 何かの手段で、ある有限のDを与えると ある確率（時枝記事では99/100）で、D>=d とできるというもの （ここに、dは問題の数列の決定番号） ところが、問題の決定番号なるものは、あきらかに 非正則な分布です （非正則な分布については>>67をご参照） この場合、どんな有限のDに対しても、そのような確率計算はできません（確率99/100などとんでもない） これが、「なぜ、当たるように見えるの？」「なぜみんな引っ掛かるの？」 という仕掛けです（>>57） つまり、決定番号の確率計算で、非正則な分布を使っているということが見えないから、如何にも当たるように見えて、みんなが引っ掛かるのです！ QED （＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/106

111: １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/03(月) 14:01:35.78 ID:mWEkE2T9 >>106 より数学的な議論は、下記のmathoverflowです（＾＾； (>>92-93より) 数学的にきちん詳しくと論じているのが、mathoverflowの二人の数学Drです （>>28より再録） https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice Probabilities in a riddle involving axiom of choice Denis氏 Dec 9 '13 (抜粋) answered Dec 9 '13 at 17:37 Math Dr. Tony Huynh氏 ・・・If it were somehow possible to put a 'uniform' measure on the space of all outcomes, then indeed one could guess correctly with arbitrarily high precision, but such a measure doesn't exist. (引用終り) Math Dr. Tony Huynh氏も分かっている ”If it were somehow possible to put a 'uniform' measure on the space of all outcomes, then indeed one could guess correctly with arbitrarily high precision, but such a measure doesn't exist.” つまり ”If it were somehow possible to put a 'uniform' measure on the space of all outcomes”が実現できれば なのだが 'uniform' measure＝一様分布 （「一様分布」は、>>67の非正則事前分布の説明に出てくるね） Math Dr. Tony Huynh氏も分かっているね 時枝における、「確率測度として成り立っていない！」は、ヴィタリ集合的なものではなく、 （全事象の積分ないし和が無限大に発散する）「非正則分布になる」ので、 ”全事象の確率は1であるというコルモゴロフの確率の公理”をうまく満たすことができない ってこと Math Dr. Tony Huynh氏も分かっているねぇ〜（＾＾ 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/111

130: １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/07(金) 15:56:50.53 ID:kwZAOrGY >>111補足 １）下記、非正則な分布は、積分値が無限大に発散してしまい、全事象の確率は1であるというコルモゴロフの確率の公理に反しています 　ですので、まっとうな確率計算はできません ２）例えば、1〜100まで100枚のカード各１枚あるとします。典型的な一様分布です。 　番号を点数として、1点〜100点とします。 ３）カードをよくシャッフルして伏せて、カードを１枚とる。二人の対戦ゲームとします。点数が上なら勝ち 　もし、自分が90点代、例えば、91点だとします。上位１割の点数ですから、勝つ確率9割です ４）でも、1〜1000まで1000枚のカード各１枚なら？ 91点なんて低い点数では、勝てる確率１割以下です ５）1〜nまでn枚のカード各１枚なら、上位１割 つまり (9/10)n以上の点数で、勝てる確率１割以下です ６）では、n→∞ の非正則な分布ではどうか？ 　非正則な分布は、積分値が無限大に発散してしまい、全事象の確率は1であるというコルモゴロフの確率の公理に反しています 　ですので、まっとうな確率計算はできません 　１億点でも、１兆点でも、有限の点数では、∞に比べて微小であり、まっとうな確率計算ができません。あえて、するなら確率0（ゼロ）です ７）時枝も、決定番号は n→∞ の非正則な分布です。なので、まっとうな確率計算ができません QED（＾＾ （>>67より） https://ai-trend.jp/basic-study/bayes/improper_prior/ AVILEN Inc 2020/04/14 非正則事前分布とは？〜完全なる無情報事前分布〜 (抜粋) 非正則分布は確率分布ではない！？ 非正則な分布とは、一様分布の範囲を無限に広げた分布のことです。（注：正確には、”ようなもの”で、これに限りません） 積分値が無限大に発散してしまいます。これは、全事象の確率は1であるというコルモゴロフの確率の公理に反しています。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/130

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