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現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 (548ﾚｽ)
現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/
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405: １３２人目の素数さん [] 2021/11/20(土) 11:36:17.41 ID:5AMtJA2Q >>402 >そうするとωで困る筈 困らないよ 後者関数で定義しようとするからそうなる 確かに、Zermeloが最初にシングルトン{}を使って、自然数を公理的に作ろうとしたときは 「自然数全体の集合 N＝ωはどうする？」というところが、問題になったらしい だが、ノイマン構成で、N＝ωが出来たあかつきには、後者関数を使わない方法をとればいい つまり、 多重シングルトン関数 fsz：n→{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n ここで、”}n”などと添字つきのカッコを考える また、最内層の{}0は、空集合でφと書ける n∈N+ω とする 例 fsz(0)＝{}0 fsz(1)＝{{}0}1 fsz(2)＝{{{}0}1}2 ・ ・ fsz(n)＝{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n ・ ・ fsz(ω)＝{･･{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n･･}ω となる 繰り返すが、ノイマン構成で、N＝ωが出来る前には、 この多重シングルトン関数 fszは、定義できない しかし、ノイマン構成で、N＝ωが出来た後には、定義可能です これで、全てのn∈自然数Nと、順序数ωに対応する可算無限多重シングルトンが定義できるよ fsz(ω)＝{･･{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n･･}ω で、外のカッコ 左{と、右}ωとを外せば ･･{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n･･ となる ここで、nは全ての自然数を走る ノイマン構成のN(＝ω)＝{0,1,2,･･n･･}と同じ （外のカッコ{}を外せば、0,1,2,･･n･･ となるから同じだよ） これで、ノイマン構成のN(＝ω)と つじつまは合っている http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/405
406: １３２人目の素数さん [sage] 2021/11/20(土) 12:02:38.18 ID:wjyKxUal >>405 ＞ノイマン構成で、N＝ωが出来たあかつきには、 ＞後者関数を使わない方法をとればいい それは構わない しかし、その方法は中卒君の「お絵描き法」ではない ＞”}n”などと添字つきのカッコを考える 下手な考え、休むに似たり ＞fsz(n)＝{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n ＞fsz(ω)＝{･･{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n･･}ω その定義で fsz(n) ＜ fsz(ω) はどうやって証明するつもりだい？ ω={0,1,2,…}なら 任意の自然数ｎについて ｎ∈ωだから、ｎ＜ωだよ でも君の定義では証明できないね ここで困らない中卒君は 考えてないってこと 考えないヤツは数学する意味がないよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/406
419: １３２人目の素数さん [] 2021/11/21(日) 08:03:38.36 ID:fskC7CH9 >>413 まず、大前提として、シングルトンでωを定義したのではなく、 順序数 0,1,2,・・n・・,ωを定義したのです >>405の通り 多重シングルトン関数 fsz：n→{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n n∈N+ω 例 fsz(0)＝{}0 fsz(1)＝{{}0}1 fsz(2)＝{{{}0}1}2 ・ ・ fsz(n)＝{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n ・ ・ fsz(ω)＝{･･{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n･･}ω 自然数Nは、最大値を持たない ノイマン構成で、N（＝ω）＝{0,1,2,・・n・・}で、カッコ{}を外すと、0,1,2,・・n・・と最大値を持たない状態になる 同様に、fsz(ω)＝{･･{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n･･}ωで、カッコ{}ωを外すと、･･{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n･･ と最大値を持たない状態になる それが、自然数Nの本来の姿 繰り返すが、「大前提として、シングルトンでωを定義したのではなく、 順序数 0,1,2,・・n・・,ωを定義したのです」。集合族（下記）としてね ωが極限順序数だから、fsz(ω)も極限順序数の性質を受け継ぐ。集合族としてね。しかし、逆ではない あたかも、オイラー数の定義 e=exp 1=Σn=0〜∞ 1/n! ＝1+1+・・+1/n+・・（下記）で 超越数 e = 2.71828 … は、上記の級数の定義で、「いつ有理数から超越数になった？」みたいなイチャモンつけても仕方ないが如し それが、自然数Nの本来の姿だから なお 極限順序数の定義は下記に転写したから、読めば良い (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E6%97%8F 集合族 自然数で添字付けられた（あるいは可算な）集合族は特に集合列（ドイツ語版）と呼ぶ（族 (数学)および列 (数学)の項も参照）。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0 ネイピア数（ネイピアすう、英: Napier's constant）は、数学定数の一つであり、自然対数の底である。 e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 … 欧米ではオイラー数 (Euler's number) と呼ばれることもある 微分積分学の基本的な関数を使った定義 e=exp 1=Σn=0〜∞ 1/n! ＝1+1+・・+1/n+・・ つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/419
424: １３２人目の素数さん [] 2021/11/21(日) 08:38:35.36 ID:fskC7CH9 >>419 補足 (引用開始) >>405の通り 多重シングルトン関数 fsz：n→{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n n∈N+ω 例 fsz(0)＝{}0 fsz(1)＝{{}0}1 fsz(2)＝{{{}0}1}2 ・ ・ fsz(n)＝{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n ・ ・ fsz(ω)＝{･･{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n･･}ω (引用終り) fsz(n)＝{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n を、簡単に{}nと書く 列 {}0,{}1,{}2,・・{}n・・→{}ω を、考えるというだけの簡単な話であって 一方 ツェルメロが批判されたのは、”多重シングルトン関数で即{}ω”みたいなところで 公理的集合論の立場からは、「ωも出来ていないのに、即{}ωとか、それはまずい」ということ でも、自然数とωが出来たら、集合族として、fsz(ω)＝{･･{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n･･}ωが 考えられるということだ これを、必死に否定しようとするけど 無理だよ それに、ツェルメロが批判された 公理的集合論の立場から「ωも出来ていないのに、即{}ωとか、それはまずい」という話とを 混同している http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/424
427: １３２人目の素数さん [] 2021/11/21(日) 08:49:29.05 ID:fskC7CH9 >>418 >>423 >{{…{{}}…}} そこ、fsz(ω)＝{･･{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n･･}ω>>424だよ だから、{{…{{}}…}}→{fsz(ω)}={{･･{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n･･}ω} が対応するよ {fsz(ω)}は、ω+1が対応するよ {…{{}}…}は、{{…{{}}…}}の前者ではあるが、 {{…{{}}…}}には、ω+1が対応するよ （多分、正則性公理を言いたいんだろうが、当てはまらない） >後者関数 s(x):={x} なんでしょ？君の定義だと いまの場合、後者関数の前に、 多重シングルトン関数 fsz：n→{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n n∈N+ω >>405 を定義しているので、そっちを優先的に見てくださいね 勿論、多重シングルトン関数の定義の後に、「ここは後者関数と同じ」という解釈はありだよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/427
446: １３２人目の素数さん [] 2021/11/21(日) 17:37:43.91 ID:fskC7CH9 >>401＆>>405(添字付与)より再録と補足 多重シングルトン関数 fsz：n→{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n n∈N+ω とする（N：自然数の集合） 対応は 数→ Zermelo → Neumann 0 : {}0 → {} 1 : {{}0}1 → {0} 2 : {{{}0}1}2 → {0, 1} 3 :{{{{}0}1}2}3 → {0, 1, 2} ・ ・ n :{･･{{{}0}1}2･･} → {0, 1, 2,･･,n-1} ・ ・ ω :{･･･{{{}0}1}2･･･}ω → {0, 1, 2,･･,n-1･･･} (注：･･･の部分は全ての自然数を尽くす) ここで n :{･･{{{}0}1}2･･} → {0, 1, 2,･･,n-1} ・ ・ の部分は、無限集合たる自然数Nのもつ性質そのものだ つまり、∀n∈N でｎは有限だが、列・・の部分は無限長 それは、数、Zermelo とNeumannの3者とも共通だ で最後の ω :{･･･{{{}0}1}2･･･}ω → {0, 1, 2,･･,n-1･･･} (注：･･･の部分は全ての自然数を尽くす) で、”･･･”の部分も、無限集合たる自然数Nのもつ性質そのもの これが良いとか悪いとか 全くおかしな議論です そもそもが、無限公理まで導入して、無限集合たる自然数Nを作ったのは 全ての自然数を尽くす列 0, 1, 2,･･,n-1･･･ を作るためだったはず （それが出来れば、整数環Z→有理数体Q→(Qのコーシー列から)実数体R が構築できるのです） ”･･･” の部分が出来たら、 それが良いとか悪いとか 全くおかしな議論です http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/446
497: １３２人目の素数さん [] 2021/11/24(水) 00:07:10.44 ID:cUOVrA71 >>401＆>>405(添字付与)より再録と補足 多重シングルトン関数 fsz：n→{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n n∈N+ω とする（N：自然数の集合） 対応は 数→ Zermelo → Neumann 0重 : {}0 → {}(注：{}0＝{}＝φで空集合) 1重 : {{}0}1 → {0} 2重 : {{{}0}1}2 → {0, 1} 3重 :{{{{}0}1}2}3 → {0, 1, 2} ・ ・ n重 :{･･{{{}0}1}2･･} → {0, 1, 2,･･,n-1} ・ ・ ω重 :{･･･{{{}0}1}2･･･}ω → {0, 1, 2,･･,n-1･･･} (注：･･･の部分は全ての自然数を尽くす) （注：n重は、空集合{}0＝{}＝φに対する{}のネスト深さ意味する） ここで n :{･･{{{}0}1}2･･} → {0, 1, 2,･･,n-1} ・ ・ の部分は、無限集合たる自然数Nのもつ性質そのものだ つまり、∀n∈N でｎは有限だが、列・・の部分は無限長 それは、数、Zermelo とNeumannの3者とも共通だ で最後の ω :{･･･{{{}0}1}2･･･}ω → {0, 1, 2,･･,n-1･･･} (注：･･･の部分は全ての自然数を尽くす) で、”･･･”の部分も、無限集合たる自然数Nのもつ性質そのもの これが良いとか悪いとか 全くおかしな議論です そもそもが、無限公理まで導入して、無限集合たる自然数Nを作ったのは 全ての自然数を尽くす列 0, 1, 2,･･,n-1･･･ を作るためだったはず （それが出来れば、整数環Z→有理数体Q→(Qのコーシー列から)実数体R が構築できるのです） ”･･･” の部分が出来たら、 それが良いとか悪いとか 全くおかしな議論です つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/497
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