現代数学の系譜カントル超限集合論他 3

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334: １３２人目の素数さん [] 2021/11/14(日) 20:42:10.02 ID:LFoQx2jW

「実無限」と「可能無限」
まあ、これでも

https://mathsoc.jp/publication/tushin/2104/2016sunada.pdf
数学の発展と展望?
明治大学総合数理学部
砂田　利一
?この文章は 2016 年 9 月 19 日に関西大学で行った日本数学会 70 周年記念講演に基づいている．

2 　無限の概念
ここで，カントルの理論の背景にある，無限概念についての歴史を振り返ろう．集合
論を「血と肉」としている我々数学者にとって，今更「無限」についての特別な感興が
呼び起こされることはほとんどない．すなわち，それほど現代数学は集合概念に依存し，
初めから概念が用意されていたかの如く，我々は無限というものに慣れ親しんでいるの
である．しかし，無限概念に対する数学者と哲学者の態度には，時代に応じた違いが見ら
れる．一言で言えば，古代ギリシャの伝統を引き継いだヨーロッパの文化的環境が，（時
代は移るものの）無限に関する考察を深化させ，最終的にはカントルの理論に至ったのである．

無限を最初に扱ったのは，古代ギリシャのアナクシマンドロス（前 610 頃?前 546 頃）
である．彼は「アペイロン」（限りがない）という概念を導入し，それを万物の根源（ア
ルケー）とした．その後アナクサゴラス（前 510 頃?前 428 頃）により「無限大，無限小」
について語られたが，19 世紀後半まで歴史の中で大きな影響を与えたのはアリストテレ
ス（前 384?前 355）である．彼は，無限には「実無限」と「可能無限」の 2 種類があっ
て，可能無限は認められるが，実無限は存在しないと考えた．カントルの集合論は，ま
さにアリストテレスに対するアンチテーゼなのである．
念のため，「実無限」と「可能無限」の意味を与えておく．
可能無限：無限を把握出来るのは，限りがないということを確認する操作が
存在していることだけで，無限全体というのは認識出来ないとする立場
実無限：無限の対象の全体性を把握して，無限が実際に存在しているとする立場

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/334

498: １３２人目の素数さん [] 2021/11/24(水) 00:09:24.46 ID:cUOVrA71

>>497
つづき

いま、下記の砂田利一先生の「実無限」と「可能無限」の意味を少しもじって
可能無限：限りがないという状態で、nに対しn+1（つまり後者）がずっと続く状態
実無限：無限集合N＝ωが出来た状態（例えば無限公理を使って）
としよう

N＝ω＝{0,1,2・・n・・}は、実無限
カッコ{}を外すと、0,1,2・・n・・ は、可能無限
この区別がついていない

0,1,2・・n・・ なる可能無限状態は厳然と存在する。それは、古代ギリシャの昔からね
わざわざ無限公理を使うのは、現代数学が古代ギリシャを超えて進んでいくためです

0,1,2・・n・・ なる可能無限状態が、理解できない人がいる
その人は、現代数学が理解できず、よって古代ギリシャをさえ超えられないことになるよｗ

(>>334より再録)
https://mathsoc.jp/publication/tushin/2104/2016sunada.pdf
数学の発展と展望?
明治大学総合数理学部
砂田　利一
この文章は 2016 年 9 月 19 日に関西大学で行った日本数学会 70 周年記念講演に基づいている．

2 　無限の概念
ここで，カントルの理論の背景にある，無限概念についての歴史を振り返ろう．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/498

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