現代数学の系譜カントル超限集合論他 3

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29: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/07/26(日) 10:37:29.90 ID:uQ4z/5zX

>>28
可測非可測の話で、ヴィタリ集合は時枝でも取り上げられている
が、確率論ではもう一つ、「全事象の確率は1であるというコルモゴロフの確率の公理に反する」確率分布の話がある

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
ヴィタリ集合 Giuseppe Vitali (1905)によって作られたルベーグ不可測な実数集合の基本的な例である。
ヴィタリの定理はそのような集合が存在することを保証する存在定理である。不可算に多くのヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される。
（「（ヴィタリ集合）V は可測であってはいけない。つまりルベーグ測度 λ はいかなる値（有限あるいは無限）も λ(V) の値として定義してはいけない。」）

https://ai-trend.jp/basic-study/bayes/improper_prior/
AVILEN AI Trend 2020/04/14
非正則事前分布とは？〜完全なる無情報事前分布〜
(抜粋)
目次
非正則な分布とは？一様分布との比較
非正則な分布とは、一様分布の範囲を無限に広げた分布のことです。

非正則分布は確率分布ではない！？
上で説明した非正則な分布ですが、よく見てみてください。確率の和が1ではありませんよね。
積分値が無限大に発散してしまいます。これは、全事象の確率は1であるというコルモゴロフの確率の公理に反しています。
よって、厳密には、非正則な分布は確率密度関数ではありません。なぜなら、確率の公理を満たしていないからです。

http://chitosepress.com/2016/02/29/1307/2/
ちとせプレス
ベイズ統計学による心理学研究のすゝめ（2）
(抜粋)
事前等確率の設定
特に事前情報がない場合には、「すべてのとりうる値について、確率は等しい」という、事前等確率の設定が妥当に感じます。
じつは「-∞から＋∞までの範囲で一様である」という事前分布は、厳密な意味での「確率」の性質を満たしていません。
確率の数学的な定義では、すべての場合について足し合わせると100％、つまり1になることが要請されています。
しかし、「-∞から＋∞までの範囲で一様」の分布は、この要請を満たすことができないのです。
こういったおかしな確率分布のことを、非正則（improper）な分布といいます。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/29

30: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/07/26(日) 11:29:25.12 ID:uQ4z/5zX

>>29 補足
>非正則な分布とは、一様分布の範囲を無限に広げた分布のことです。

これを時枝記事について考えると

１）例えば、宝くじを有限ｎ枚発行して、一等賞くじ（時枝に合わせ）100枚あるとする
２）ｎ枚に連番 1〜ｎを打ち、一等賞くじ 100枚： 1<= m1,m2,・・・,m100 <=n（有限） とする
３）当たりくじ100枚（ m1,m2,・・・,m100 ）から、1枚を選んだとき、
　それが、m100である確率 p＝1/100
４）このような p＝1/100の計算は、”有限ｎ枚発行”の条件下では、正当化できる
　しかし、無限大を考えてｎ→∞ とすると、p＝1/100の計算は、必ずしも正当化できない
５）例えば、”1<= m1,m2,・・・,m100 <=n（有限）”が成立っていないと
　ｎ→∞では、非正則分布になる
　つまり、例えば 宝くじ 有限ｎ枚の当選確率は、p＝100/ｎであるが、
　ｎ→∞では p＝100/ｎ→0となる
　が、この当選確率計算は、「全事象の確率は1であるというコルモゴロフの確率の公理」に反しています！
６）さらに、例えば、99枚の札 n1,n2,・・・,n99 を選んだとき
　もし、もう一枚自然数の集合Nからn100を選べるとして、”max( n1,n2,・・・,n99 ) ＜＝ n100 のとき勝ち”というゲームを考えると
　普通には、勝つ確率 p=1 と考えるのが自然でしょうが （∵選ぶn100には上限無し） （注：この類似設定が時枝記事で出てくる）
　”勝つ確率 p=1 ”は、「全事象の確率は1であるというコルモゴロフの確率の公理」に反しています（∵ 一様分布の範囲を無限に広げた分布なので、非正則分布）
７）時枝の数当ては、このような、非正則な分布を使っているので、時枝記事の”確率99/100で勝てる”は、数学的に正当化されないのです
　
以上

なお、数学的には、時枝記事の成否は、そｎ反例存在： iid(独立同分布)で、終わっています
ただ、「なぜ、当たるように見えるか？」の説明が、上記や2013年12月09日のmathoverflowの議論（>>28）なのです。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/30

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