現代数学の系譜カントル超限集合論他 3

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142: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/09(日) 11:19:01.53 ID:QmjvhqAQ

>>115
>選択公理を認めるなら、いかなる列の決定番号も自然数　つまり有限です
>∞になることなどあり得ません（∞は自然数ではありませんｗ）

＜赤ペン先生＞（＾＾
１．それ、”選択公理”の問題ではない、レーヴェンハイム-スコーレだよ。一階の理論か、一階以上の理論かの問題
２．レーヴェンハイム-スコーレム：「定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す」
　　レーヴェンハイム-スコーレム：「一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない」
３．自然数：「物の個数を数える基数のうちで有限のもの」、「物の並べ方を示す順序数のうちで有限のもの」
　「自然数は、可算無限集合である」！！
分かってないね
QED ｗ（＾＾；

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
レーヴェンハイム-スコーレムの定理
(抜粋)
レーヴェンハイム-スコーレムの定理（英: Lowenheim-Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。この事実を定理の一部とする場合もある。

例と帰結
自然数を N、実数を R とする。この定理によれば、(N, +, ×, 0, 1) の理論（真の一階算術の理論）には非可算なモデルがあり、(R, +, ×, 0, 1) の理論（実閉体の理論）には可算なモデルがある。もちろん同型の違いを除いて、(N, +, ×, 0, 1) と (R, +, ×, 0, 1) を特徴付ける公理化が存在する。レーヴェンハイム-スコーレムの定理は、それらの公理化が一階ではあり得ないことを示している。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/142

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