現代数学の系譜カントル超限集合論他 3

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140: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/09(日) 08:24:12.79 ID:QmjvhqAQ

>>139 補足

さて、時枝をもう少し具体例に落として、考えてみよう
(>>7 時枝記事（数学セミナー201511月号の記事）ご参照)

(>>37の)フレシェフィルターによる、時枝の可算無限数列のシッポの同値類
（これだけでは何も新しいことは言えないが、考察の手がかりには なる）

１）簡単に２つの可算無限数列x,yで考えよう
　いま、具体例として、無理数の無限小数展開の小数部分を考える
　10進で、各桁は0〜9の数で、この可算無限数列が得られる
　（例えば、π＝3.14159 26535 89793・・で、小数点以下の”14159 26535 89793・・”を考えるってこと）
２）フレシェフィルターは、これだけでは何も言えないが、超準解析（ノンスタとも）と繋がっているところが良いね
　”14159 26535 89793・・”の時枝の同値類を考える
　例えば、先頭の有限部分を変えた ”x1,x2,x3,x4, 9 26535 89793・・”などは、その例だ（x1,x2,x3,x4・・・などは任意の実数で可）
　これらで、数列xとその同値類を考える
３）さて、時枝さんのやっていることは、別の数列yから、ある有限の決定番号dyを得て
　問題の数列xの決定番号dxとの比較で、dx < dy となっていれば、勝ち
　つまり、数列xにおいて、dy+1番目より大きいシッポの数を知って、数列xの代表からdy番目の数列xの数が的中できるという
４）ところが、>>130で書いたように、決定番号はその分布が非正則。つまり、コルモゴロフの確率の公理を満たすことができない
　だから、P(dx < dy)=1/2 (つまり確率1/2) という計算が正当化されない
５）フレシェフィルターに戻ると、x1,x2,x3,x4・・・などは、上記のように別に 10進の 0〜9 に限らない。任意の実数で良いのだ
　とすると、代表のdy番目の数は、「0〜9 に限らない 任意の実数」となっている可能性が大
　そういうことを、確率計算に折り込む必要があるが、それも難しい（不可能でしょ）
６）ここらを批判しているのが、mathoverflowでの二人の数学Dr Alexander Pruss 氏と Tony Huynh氏です！(>>92 ご参照)
以上

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/140

141: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/09(日) 08:24:38.11 ID:QmjvhqAQ

>>140
つづき

参考(>>37より)
”２つの無限列s1,s2∈R^Nについて
一致する項の番号の集合が
Nの補有限部分集合（つまりNにおける有限集合の補集合)
ならば同値、というだけのことだろう
（これが、フレシェ・フィルタを用いた同値関係の再定義）”
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%BC
超フィルター
超フィルター（ちょうフィルター、英: ultrafilter）または極大フィルター（きょくだいフィルター、英: maximal filter）とは順序集合上で定義されたフィルターの中で極大なものをいう。
冪集合上の超フィルター
基本性質
・X が有限集合のとき U が自由な超フィルターだとすると Φ = Xc ∈ U より矛盾するので、有限集合上には単項フィルターしか存在しない。
・無限集合 X の補有限部分集合全体 Pfin(X) := {A ⊆ X : |X ＼ A| <= ∞} は真のフィルターとなりフレシェ (仏: Frechet) フィルターと呼ばれる。超フィルターが自由なこととフレシェフィルターを含むことが同値。
・無限集合 X の超フィルター全体 Ult(X) の濃度は、X の冪集合 P(P(X )) の濃度と等しくなる（これはフィルター全体や自由な超フィルター全体の濃度とも等しい）。
・無限集合 X 無限基数 κ < |X| にたいし、X 上の集合族 Pκ(X) := {A ⊆ X : |X ＼ A| < κ} は真のフィルターとなり（特に κ = |X| のとき）一般化されたフレシェ (英: generalized Frechet) フィルターと呼ばれる。X 上の超フィルターが κ-一様なことと、Pκ(X) を含むことが同値。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
超準解析

https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice Denis氏 Dec 9 '13
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/141

142: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/09(日) 11:19:01.53 ID:QmjvhqAQ

>>115
>選択公理を認めるなら、いかなる列の決定番号も自然数　つまり有限です
>∞になることなどあり得ません（∞は自然数ではありませんｗ）

＜赤ペン先生＞（＾＾
１．それ、”選択公理”の問題ではない、レーヴェンハイム-スコーレだよ。一階の理論か、一階以上の理論かの問題
２．レーヴェンハイム-スコーレム：「定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す」
　　レーヴェンハイム-スコーレム：「一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない」
３．自然数：「物の個数を数える基数のうちで有限のもの」、「物の並べ方を示す順序数のうちで有限のもの」
　「自然数は、可算無限集合である」！！
分かってないね
QED ｗ（＾＾；

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
レーヴェンハイム-スコーレムの定理
(抜粋)
レーヴェンハイム-スコーレムの定理（英: Lowenheim-Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。この事実を定理の一部とする場合もある。

例と帰結
自然数を N、実数を R とする。この定理によれば、(N, +, ×, 0, 1) の理論（真の一階算術の理論）には非可算なモデルがあり、(R, +, ×, 0, 1) の理論（実閉体の理論）には可算なモデルがある。もちろん同型の違いを除いて、(N, +, ×, 0, 1) と (R, +, ×, 0, 1) を特徴付ける公理化が存在する。レーヴェンハイム-スコーレムの定理は、それらの公理化が一階ではあり得ないことを示している。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/142

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