Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 45

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524: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/05/11(月) 23:23:00 ID:AHfZgdJQ

>>523

「有限単純群の分類」を、お話風にいうと
１）群の位数が大きくなると、単純群は 3つの無限個クラスの群、素数位数の巡回群 Cp ＆ 次数5以上の交代群 An ＆ リー型の単純群 に限られる
２）群の位数が小さいとき＊、26の例外的な散在型単純群が存在しうる
　（注＊：小さいというも、モンスター群の位数は大きい）

１）と２）を厳密にやると2万ページ

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
有限単純群の分類
(抜粋)
有限単純群の分類 (classification of the finite simple groups) とは、数学において全ての有限単純群を4つの大まかなクラスへと分類する定理である。

分類定理の主張
詳細は「en:List of finite simple groups」を参照
分類定理 ― 全ての有限単純群は以下の群のいずれかと同型である:

以下3つの無限個クラスの群:
・素数位数の巡回群 Cp
・次数5以上の交代群 An
・リー型の単純群

・26の散在型単純群（英語版）
・ティッツ群（英語版） 2F4(2)′ - リー型の群や27番目の散在型単純群に分けられることもある

分類定理は数学の多くの分野において応用がある。 有限群（また他の数学的対象に対するそれらの作用）の構造についての疑問は、有限単純群のそれへと簡約することが出来る。 分類定理のお陰で、そのような疑問は単純群や散在群の族をチェックすることで答えることが出来る。

1983年にダニエル・ゴーレンシュタインは有限単純群が完全な分類が成されたと発表した。 しかしこれは準薄群（英語版）の分類の証明についての錯誤があったため尚早であった。 欠けていた準薄のケースについての1221ページにも及ぶ証明がアシュバッハーとスミスにより出版された後に、 分類定理の証明の完成が Aschbacher (2004) によりアナウンスされた。

何故この証明はこんなにも長いのか？
・最も明らかな理由は、単純群の一覧が完全に複雑だからである：すなわち、26の散在型単純群についてのように、どんな証明にも多くの特別なケースを考慮に入れなくてはならない。
　そのため、ディンキン図形を用いたコンパクトリー群のパラメーター化に似た、有限単純群のスッキリとした規則的な説明を誰も発見できていない。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/524

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