[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 45 (1002ﾚｽ)

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 45 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/

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447: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2020/05/10(日) 19:46:55 ID:mjl0bfS3 >>418 追加 （>>410再録） https://www.math.wisc.edu/~miller/old/m771-10/kunen770.pdf The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF 2007/10/29 Kenneth Kunen. Kenneth Kunen (抜粋) P10 On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by: x = Φ ⇔ ∀z(z not∈ x) 　>>309より （参考） https://www.math.wisc.edu/~miller/old/m771-10/kunen770.pdf The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF 2007/10/29 P10 I.2 The Axioms Axiom 0. Set Existence. ∃x(x = x) Axiom 1. Extensionality. ∀z(z ∈ x ←→ z ∈ y) → x = y Axiom 2. Foundation. ∃y(y ∈ x) → ∃y(y ∈ x ∧ ¬∃z(z ∈ x ∧ z ∈ y)) Axiom 3. Comprehension Scheme. For each formula, φ, without y free, ∃y∀x(x ∈ y ←→ x ∈ z ∧ φ(x)) Axiom 4. Pairing. ∃z(x ∈ z ∧ y ∈ z) Axiom 5. Union. ∃A∀Y ∀x(x ∈ Y ∧ Y ∈ F → x ∈ A) Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, φ, without B free, ∀x ∈ A∃!y φ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B φ(x, y) Axiom 7. Infinity. ∃x（{} ∈ x ∧ ∀y ∈ x(S(y) ∈ x)）注：{}は空集合 Axiom 8. Power Set. ∃y∀z(z ⊆ x → z ∈ y) Axiom 9. Choice. {} not∈ F ∧ ∀x ∈ F ∀y ∈ F(x ≠ y → x ∩ y = {}) → ∃C ∀x ∈ F(SING(C ∩ x)) 注：{}は空集合 ZFC = Axioms 1-9. ZF = Axioms 1-8. さて、いま気付いたが、これ 面白いね（＾＾ Kenneth Kunen 先生の流儀では、空集合Φの存在は、公理ではなく、定理なんだ〜！ （多分、”Axiom 0. Set Existence. ∃x(x = x)”を使うのだろうね。これは Kenneth Kunen流で 普通のZFCにはこれは存在しない！） 一方、普通のZFCでは、空集合の（存在）公理で与えられているね（下記の wikipediaとか渕野PDF ご参照） つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/447

448: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2020/05/10(日) 19:47:23 ID:mjl0bfS3 >>447 つづき （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96 公理的集合論 ZF 公理系 ・空集合の公理　要素を持たない集合が存在する： ∃ A ∀ x(x not∈ A) 。 外延性の公理から、空集合の公理が存在を主張する集合はただ一つであることが言えるので、これを空集合と呼び、 Φ で表す。 https://fuchino.ddo.jp/misc/kikaku03.pdf 数学の基礎としての集合論 vs. 数学としての集合論 0 渕野 昌 (Saka´e Fuchino) 神戸大学大学院 システム情報学研究科 0このテキストは，著者の中部大学在職中の 2003 年 9 月 24 日に，千葉大で開かれた数学 会の秋季総合分科会の企画特別講演として講演したものの予稿に若干手を加えたものです． Ｐ2 2 数学の基礎としての集合論 以下で述べる公理系は，ツェルメロ (Ernst Zermelo, 1871?1953) により 定式化され，フレンケル (Abraham Fraenkel, 1891?1965) によりさらに拡張 されて得られた体系に基づくもので，ZFC とよばれている． （空集合公理） 要素を一つも持たないような集合が存在する． 外延性公理により，要素を一つも持たない集合は存在すれば一意であること が示せる．この一意に決まるところの，要素を一つも持たないような集合を Φ であらわし空集合とよぶ． (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/448

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