Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 45

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418: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/05/10(日) 14:25:53 ID:mjl0bfS3

>>417
必死の論点ずらしご苦労さん
（>>410再録）
https://www.math.wisc.edu/~miller/old/m771-10/kunen770.pdf
The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF
2007/10/29 Kenneth Kunen. Kenneth Kunen
(抜粋)
P10
Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, φ, without B free, ∀x ∈ A∃!y φ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B φ(x, y)
P11
Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, ψ, without B free,
∀x ∈ A∃!y ψ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B ψ(x, y)
The rest of the axioms are a little easier to state using some defined notions.
On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by:
x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y)
x = Φ ⇔ ∀z(z not∈ x)
y = S(x) ⇔ ∀z(z ∈ y ←→ z ∈ x ∨ z = x)
w = x ∩ y ⇔ ∀z(z ∈ w ←→ z ∈ x ∧ z ∈ y)
SING(x) ⇔ ∃y ∈ x ∀z ∈ x(z = y)
(引用終り)

＜補足＞
１．確かに、これは ”define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by:”
　で、これらを定義しているのだが
２．例えば、”x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y)”で、⇔の右辺は On the basis of Axioms 1,3,4,5＆ Axiom 6. Replacement Scheme のみを組合わせて
　左辺の ”x ⊆ y”が定義できます と読むべきもの
３．つまり、公理主義だから、公理で決められていないものを、天下りで 論理式 ψ で与えるわけにはいかないのです
　迂遠でも、一歩一歩、ひとつづつ 公理を組合わせて ”x ⊆ y”などを えっちら おっちら 数学を展開するのに必要な定義を全て（のみならず全ての定理や命題）を
　公理から 構築すべき or 構築できる
　それぞ、公理主義です

論理式 ψ が、天下りで 飛んできて ”x ⊆ y”が定義できる？
いやいや、 論理式 ψ は 決められた公理の組合わせ以外は、認められませんねぇ〜ｗ

チコちゃん、５歳だったかねぇ〜、基礎論ごっこ なんかしてぇ〜ｗ えらいね〜ｗ
まず、「公理主義とは？」からの、お勉強ですね（＾＾

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/418

419: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/05/10(日) 14:39:27 ID:mjl0bfS3

>>418 補足

おサルは
The rest of the axioms are a little easier to state using some defined notions.
On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by:
x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y)
x = Φ ⇔ ∀z(z not∈ x)
y = S(x) ⇔ ∀z(z ∈ y ←→ z ∈ x ∨ z = x)
w = x ∩ y ⇔ ∀z(z ∈ w ←→ z ∈ x ∧ z ∈ y)
SING(x) ⇔ ∃y ∈ x ∀z ∈ x(z = y)

これを
x ⊆ y def⇒ ∀z(z ∈ x → z ∈ y)
x = Φ def⇒ ∀z(z not∈ x)
y = S(x) def⇒ ∀z(z ∈ y ←→ z ∈ x ∨ z = x)
w = x ∩ y def⇒ ∀z(z ∈ w ←→ z ∈ x ∧ z ∈ y)
SING(x) def⇒ ∃y ∈ x ∀z ∈ x(z = y)

と いうように 読んだらしいな
つまり、左辺のx ⊆ y などを、「∀z(z ∈ x → z ∈ y)」と定義する
その「∀z(z ∈ x → z ∈ y)」は、天下りに与えられるものだと

確かに、普通の数学本ならそうかも
しかし、Kenneth Kunenの”The Foundations of Mathematics”は公理的集合論を説く教科書であり
ZFC公理系から、いかに集合論を構築するのか？ という視点で読むべきもの

この場合は、全く逆で、右辺が ZFC公理系のみを使って作られた 論理式 ψ を使って作られた式であって
「この式が、実は 一般教科書の ”x ⊆ y”と同値である」と読むべし

他も同じだよ
所詮、チコちゃんは 五歳児の智恵だな。「公理主義とは何か」が分かっていない！ 小学校で勉強してね（＾＾；

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/419

447: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/05/10(日) 19:46:55 ID:mjl0bfS3

>>418 追加
（>>410再録）
https://www.math.wisc.edu/~miller/old/m771-10/kunen770.pdf
The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF
2007/10/29 Kenneth Kunen. Kenneth Kunen
(抜粋)
P10
On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by:
x = Φ ⇔ ∀z(z not∈ x)
　>>309より
（参考）
https://www.math.wisc.edu/~miller/old/m771-10/kunen770.pdf
The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF
2007/10/29
P10
I.2 The Axioms
Axiom 0. Set Existence. ∃x(x = x)
Axiom 1. Extensionality. ∀z(z ∈ x ←→ z ∈ y) → x = y
Axiom 2. Foundation. ∃y(y ∈ x) → ∃y(y ∈ x ∧ ￢∃z(z ∈ x ∧ z ∈ y))
Axiom 3. Comprehension Scheme. For each formula, φ, without y free, ∃y∀x(x ∈ y ←→ x ∈ z ∧ φ(x))
Axiom 4. Pairing. ∃z(x ∈ z ∧ y ∈ z)
Axiom 5. Union. ∃A∀Y ∀x(x ∈ Y ∧ Y ∈ F → x ∈ A)
Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, φ, without B free, ∀x ∈ A∃!y φ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B φ(x, y)
Axiom 7. Infinity. ∃x（{} ∈ x ∧ ∀y ∈ x(S(y) ∈ x)）注：{}は空集合
Axiom 8. Power Set. ∃y∀z(z ⊆ x → z ∈ y)
Axiom 9. Choice. {} not∈ F ∧ ∀x ∈ F ∀y ∈ F(x ≠ y → x ∩ y = {}) → ∃C ∀x ∈ F(SING(C ∩ x)) 注：{}は空集合
ZFC = Axioms 1-9. ZF = Axioms 1-8.

さて、いま気付いたが、これ 面白いね（＾＾
Kenneth Kunen 先生の流儀では、空集合Φの存在は、公理ではなく、定理なんだ〜！
（多分、”Axiom 0. Set Existence. ∃x(x = x)”を使うのだろうね。これは Kenneth Kunen流で 普通のZFCにはこれは存在しない！）
一方、普通のZFCでは、空集合の（存在）公理で与えられているね（下記の wikipediaとか渕野PDF ご参照）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/447

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