Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 45

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378: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/05/10(日) 09:52:05 ID:mjl0bfS3

>>233
>https://ja.yourpedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
>宇宙際タイヒミュラー理論 Yourpedia
>・　同じ言語上の二つの理論において、保存的拡大という用語を使用している。特にZFCGはZFCの保存的拡大ではない。

はい、では次にｗ
「ZFCGはZFCの保存的拡大ではない」に行きます
まず、保存拡大から、長文ご容赦（＾＾

１．下記 クラス (集合論)
２．”NBGにおける集合の存在公理は、クラスの上を亘るのではなく、集合の上を亘る量化のみに制限されている。これにより、NBG は ZF の保存拡大となる。”
　”MKはZFやNBGより真に強い”（これ、多分 ”保存拡大”ではない）
　を見ておきましょう

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%B9_(%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96)
クラス (集合論)
(抜粋)
集合論及びその応用としての数学におけるクラスまたは類（るい、英: class）は、集合(または、しばしば別の数学的対象)の集まりで、それに属する全ての元が共通にもつ性質によって紛れなく定義されるものである。「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する。
例えば、ツエルメロ＝フレンケル集合論 (ZF) ではクラスは厳密には存在しないが、他の集合論（たとえば、ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 (NBG)）では、「クラス」の概念は公理化されている（NBG の例だと、別の量 (entity) の要素にならないような量としてクラスが定義される）。

（どのような定式化を選んだとしても）「全ての集合の集まり」はクラスである。（ZF では厳密な言い方ではないが）このクラスだが集合でないようなものは真のクラス (proper class) と呼ばれ、集合となるようなクラス（つまり集合）は小さいクラス (small class) とも呼ばれる。
例えば、全ての順序数からなるクラスや全ての集合からなるクラスは、多くの形式体系において真のクラスである。

目次
1 例
2 パラドックス
3 公理的集合論におけるクラス

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/378

379: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/05/10(日) 09:52:48 ID:mjl0bfS3

>>378

つづき

例
与えられた型の代数的対象全ての集まりは、たいてい真のクラスをなす。例えば、全ての群からなるクラス、全てのベクトル空間からなるクラス、など。圏論では、対象の集まりが真クラスをなすもの（または射の集まりが真クラスをなすもの）を大きい圏という。

パラドックス
ラッセルのパラドックスなどの素朴集合論のパラドックスは「全てのクラスが集合である」という正しくない仮定によって説明される。厳格な基礎付けの下では、これらはパラドックスなのではなくて、ある種のクラスが真クラスであることの証明を示唆するものであると捉えることができる。
ラッセルのパラドックスは「自分自身に属する集合」全体が真のクラスになることを示唆するし、ブラリ＝フォルティのパラドックスは全ての順序数からなるクラスが真のクラスであることを示唆している。

公理的集合論におけるクラス
ZFではクラスの概念を定式化することはできないので、クラスはメタ言語による同値な言明で置き換えることで扱うことになる。

ZF集合論ではクラスを厳密に扱うことができないので、ZF の公理系をそのままクラスに関する言明に適用することはできない。しかし、到達不能基数 κ の存在を仮定すれば「それよりランクの小さな集合全体」は ZF のモデル（グロタンディーク宇宙）になり、その部分集合を「クラス」として考えることができる。

別な方法として、ノイマン-ベルナイス-ゲーデルの公理系 (NBG) を例に挙げよう。この理論ではクラスは基本的な対象であり、集合は別のクラスの要素であるクラスとして定義される。しかしながら、NBGにおける集合の存在公理は、クラスの上を亘るのではなく、集合の上を亘る量化のみに制限されている。これにより、NBG は ZF の保存拡大となる。

モース-ケリー集合論 (MK) は（NBG のように）真クラスを基礎的な対象として認めるものだが、集合の存在公理の中で全ての真クラスを走る量化をも許す。これにより、MKはZFやNBGより真に強い。

新基礎集合論 (NF) や半集合の理論のようなほかの集合論でも、「真の類」の概念は意味を成す
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/379

383: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/05/10(日) 10:03:08 ID:mjl0bfS3

>>378
補足 英文 Class (set theory) wikipedia

https://en.wikipedia.org/wiki/Class_(set_theory)
Class (set theory)
(抜粋)
Examples
The collection of all algebraic structures of a given type will usually be a proper class. Examples include the class of all groups, the class of all vector spaces, and many others. I
n category theory, a category whose collection of objects forms a proper class (or whose collection of morphisms forms a proper class) is called a large category.

Classes in formal set theories
Another approach is taken by the von Neumann?Bernays?Godel axioms (NBG); classes are the basic objects in this theory, and a set is then defined to be a class that is an element of some other class.
However, the class existence axioms of NBG are restricted so that they only quantify over sets, rather than over all classes.
This causes NBG to be a conservative extension of ZF.
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/383

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