[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 45 (1002ﾚｽ)

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 45 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/

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370: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2020/05/10(日) 08:21:46 ID:mjl0bfS3 >>309 （>>369も？ｗ）補足 >>最初から、９個がダメとか言い出したら、それ 「分かり易い説明」としては、失敗していると思う（＾＾； >キューネンのPDFが落ちているのを思い出したな >キューネンの下記では、「ZFC = Axioms 1?9. ZF = Axioms 1?8.」と説明しているな！ｗｗ（＾＾； ＜だめ押し＞ｗ（＾＾ まず、半可通が わーわー騒ぐ 「論理式 ψ をパラメータとする公理図式」の話 下記ご参照 （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96 公理的集合論 (抜粋) 集合の公理系 現在一般的に使われている集合の公理系は以下の ZFC である。 ZF 公理系 ・置換公理　"関数クラス"による集合の像は集合である： ∀ x∀ y∀ z((ψ (x,y) ∧ ψ (x,z)) → y=z) → ∀ X ∃ A∀ y(y ∈ A ←→ ∃ x ∈ Xψ (x,y)) この公理は、論理式 ψ をパラメータとする公理図式である。 分出公理 置換公理はフレンケルによって次の分出公理の代わりにおかれたものである（1922年）。分出公理は上に述べた ZF の公理から示すことができる。 ・分出公理　任意の集合 X と A を自由変数として使用しない論理式 ψ(x) に対して、X の要素 x で ψ(x) をみたすような x 全体の集合が存在する： ∀ X ∃ A∀ x(x ∈ A ←→ (x ∈ X ∧ ψ (x))) この公理は、論理式 ψ をパラメータとする公理図式である。 論理式 ψ を決めたとき、X に対して分出公理が存在を主張する集合はただ一つであることが外延性の公理から言えるので、 これを {x ∈ X｜ ψ (x)} で表す。 {x ∈ X｜ x ∈ Y}を X ∩ Y で表す。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/370

371: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2020/05/10(日) 08:22:12 ID:mjl0bfS3 >>370 つづき >{x ∈ X｜ ψ (x)} で表す。 >{x ∈ X｜ x ∈ Y}を X ∩ Y で表す。 正直、これは何を言っているか分からなかったのでｗ（＾＾； （余談ですが、論理式 ψを一階述語に限定するとか、高階まで許すとか いろいろあるようですが。保守的な立場は、一階限定です。矛盾が起きにくい） 実はｗ、下記のKenneth Kunen先生に分り易い説明があったのです（＾＾ 置換公理から ”On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by” と書かれていて、置換公理って、こうやって使うのか〜ｗ、と感心したのです で、まあ ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) ・・・ 達を、公理 Axioms 1,3,4,5 ＆ Axiom 6(Replacement Scheme) とか（勿論 他の公理も）使って、通常の集合論の記号や用語を組立て さらには、定理を作って・・と出来るのです（多分ねｗ） （参考） https://www.math.wisc.edu/~miller/old/m771-10/kunen770.pdf The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF 2007/10/29 - c 2005,2006,2007 Kenneth Kunen. Kenneth Kunen (抜粋) P10 Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, φ, without B free, ∀x ∈ A∃!y φ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B φ(x, y) P11 Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, ψ, without B free, ∀x ∈ A∃!y ψ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B ψ(x, y) The rest of the axioms are a little easier to state using some defined notions. On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by: x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y) x = Φ ⇔ ∀z(z not∈ x) y = S(x) ⇔ ∀z(z ∈ y ←→ z ∈ x ∨ z = x) w = x ∩ y ⇔ ∀z(z ∈ w ←→ z ∈ x ∧ z ∈ y) SING(x) ⇔ ∃y ∈ x ∀z ∈ x(z = y) (引用終り) つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/371

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