[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 45 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除 必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞 あぼーん
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡
599(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/13(水)09:59 ID:uMe8boWM(1/22) AAS
>>598
粋蕎さん、どうも
私は、５ｃｈなんて、こんなものだと
１２年前は、どうでしたか？ まあ、大分違ったのでしょうね？ （＾＾；
600(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/13(水)11:09 ID:uMe8boWM(2/22) AAS
>>556 補足
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
公理型（公理図式とも）（英：axiom schema、英複数形：axiom schemata）
公理型の例
・置換の公理型（英語版）：集合論の標準的なZFC公理系による公理化の一部。
について、ダメ押しを しておこう
１．まず、置換公理は、下記のように 論理式 ψ をパラメータとして含む ことを確認しよう
省15
603(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/13(水)11:45 ID:uMe8boWM(3/22) AAS
>>561 戻る
(引用開始)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
[17] 宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い （2015-02） （京都大学数理解析研究所 2015年02月）
で P5 に
”一種の「同義反復的解決」”というのが出てくる
「同義反復的な解決」の意味が、正確には分からないが
省20
604(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/13(水)11:46 ID:uMe8boWM(4/22) AAS
>>601-602
五歳児のチコちゃん、無理するなｗ（＾＾；
607(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/13(水)13:10 ID:uMe8boWM(5/22) AAS
>>603 追加
（参考）
はてなブログ/entry/2018/10/13/193343
2018-10-13 はてなブログ 亀岡亮太
Russell のパラドクスと λx.xx (または自己言及がもたらす豊かさと危うさについて)
Russell のパラドクス
既にご存知の読者も多いと思うが，念のため Russell のパラドクスについての紹介をしておく．
省13
608(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/13(水)13:11 ID:uMe8boWM(6/22) AAS
>>607
つづき
型無しラムダ計算
20年ほど時代を下り，1930年代に話題を移そう．若き日の Alonzo Church は，自由変数を用いない*19形式論理学の記法あるいは計算体系として，ラムダ計算を提案する．
初出は1932年の A Set of Postulates for the Foundation of Logic であるようで，表題からも分かる通り，この頃の Church はラムダ計算を論理学の基礎として据えようと考えていたらしく，項として種々の論理定項を含んでいる．
しかし，このオリジナルの体系は証明力が強すぎたため，後に Stephen Kleene と John Barkley Rosser らにより矛盾を導くことが証明された*20．
単純型付ラムダ計算
省3
609: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/13(水)13:12 ID:uMe8boWM(7/22) AAS
>>608
停止性問題・Godel の不完全性定理・対角線論法
Russell のパラドクスに始まり，[Math Processing Error] や [Math Processing Error] といった自己言及・自己適用を含んだ表現について見てきたが，計算機科学の素養がある読者なら，停止性問題の決定不能性の証明が，ある種の自己適用を用いたものだったことを思い出すかもしれない*27．
Godel の不完全性定理に登場する「この文は証明できない」といういわゆる Godel 文も自己言及を含んでいる．このように，ある種の自己言及を仮定すると矛盾を導く論法は対角線論法として知られている．
終わりに
これまで見てきたように，制限のない自己言及はしばしば矛盾を引き起こす．
これを防ぐために Russell は型の概念を発明し，論理学における式がどのような文脈で出現できるかに制限を加え，Church はこのアイディアを拝借し，ラムダ計算における式がどのような文脈で出現できるかに制限を加えた．
省5
610(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/13(水)13:21 ID:uMe8boWM(8/22) AAS
>>607
追加
外部ﾘﾝｸ[html]:userweb.mnet.ne.jp
ノームラーのCUI大好き
ラッセルのパラドックス(2001.05.15)
(抜粋)
ラッセルのパラドックス
省6
611(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/13(水)13:35 ID:uMe8boWM(9/22) AAS
>>610 追加
外部ﾘﾝｸ:www.jstage.jst.go.jp
J-STAGE home/Kagaku tetsugaku/Volume 9 (1976)
様相 パラドックス 内井 惣七
(抜粋)
1 様相 と自己言及
7 算術 と必然的自己言及
省20
612(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/13(水)13:43 ID:uMe8boWM(10/22) AAS
>>610-611
>ラッセルのパラドックス
>つまり、述語論理学(述語を変数にすることができる二階述語論理学の場合)では、命題が必ず真か偽の値のどちらかをとるということは保証されていない。(二階)述語論理学では排中律が成立しないのである。
従来、ラッセルのパラドックスなどを回避するために
階型理論のように、できるだけ 一階述語に限定して
「自己言及」のような（あるいは、広い意味での再帰の）記述は、数学では避けて来たのだった
では、>>603の IUTの 「同義反復的な解決」が、果たして、一階述語の範囲に収まっているのかどうか？
省1
614(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/13(水)13:50 ID:uMe8boWM(11/22) AAS
>>612
いまどき、圏論−高階論理は 普通なので、それはそれで、はっきりさせれば良い
但し、高階論理を使うなら、ZFCとかに 拘る意味は薄い
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
圏論
(抜粋)
省13
615(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/13(水)13:52 ID:uMe8boWM(12/22) AAS
>>613
>生年 昭和29年(1954年)
>性別 男
>職業 内科医
おれ的には
あなたより ましに見える
”職業 無職” よりも
617(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/13(水)14:01 ID:uMe8boWM(13/22) AAS
>>614 補足
普通の数学では
自己言及のような、再帰（定義、算法、論法など）は、普通は使わない
対角線論法などは、例外としてね
IUTの「同義反復的解決」（>>603）というのが
果たして、何者かだよね（＾＾；
624(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/13(水)15:54 ID:uMe8boWM(14/22) AAS
>>616
> さて、ラッセルのパラドックスを巡る俗説の一つに
> 「基礎付けの公理は、ラッセルのパラドックスを防ぐために導入された」
> というものがあります。
同意（＾＾
１）IUTの「同義反復的解決」（>>603）が、ラッセルのパラドックス同様の自己言及（二階述語）と見て
２）「基礎付けの公理は、ラッセルのパラドックスを防ぐために導入された」という俗説に 引っ掛かって
省15
625(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/13(水)15:55 ID:uMe8boWM(15/22) AAS
>>624
つづき
P3
Finally, in §3, we examine - albeit from an extremely naive/non-expert point of view! - certain foundational issues underlying the theory of the present series of papers. Typically in mathematical discussions [i.e., by mathematicians who are not equipped with a detailed knowledge of the theory of foundations!] - such
as, for instance, the theory developed in the present series of papers! - one defines various “types of mathematical objects” [i.e., such as groups, topological
spaces, or schemes], together with a notion of “morphisms” between two particular examples of a specific type of mathematical object [i.e., morphisms between
groups, between topological spaces, or between schemes].
省5
626(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/13(水)15:55 ID:uMe8boWM(16/22) AAS
>>625
つづき
P8
Acknowledgements:
I would like to thank Kentaro Sato for useful comments concerning the set-theoretic and foundational aspects of the present paper,
P67
Section 3: Inter-universal Formalism: the Language of Species In the present §3, we develop - albeit from an extremely naive/non-expert point of view, relative to the theory of foundations! - the language of species.
省10
627: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/13(水)15:56 ID:uMe8boWM(17/22) AAS
>>626
つづき
P74
Remark 3.3.1.
(i) One well-known consequence of the axiom of foundation of axiomatic set
theory is the assertion that “∈-loops”
a ∈ b ∈ c ∈ ... ∈ a
省7
628: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/13(水)15:57 ID:uMe8boWM(18/22) AAS
>>623
粋蕎さん
レスありがとう（＾＾
634: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/13(水)17:12 ID:uMe8boWM(19/22) AAS
>>629
>ZFCではラッセル・パラドックスを防いでるのは分出公理図式
そうだね
フレンケル分出公理 1908年 {x ｜ x not∈ x} は構成できない
置換公理 フレンケル 1922年も同じ
正則性公理はジョン・フォン・ノイマン 1925年 、彼はどちらかというと 「∈」 が、”∈による順序が 等号を含まない ”＜”（不等号）” ということを規定した気がする（>>464ご参照）（＾＾
（参考）
省13
635: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/13(水)17:22 ID:uMe8boWM(20/22) AAS
>>624 補足
> ”the notion of a species allows one to “simulate ∈-loops” without violating the axiom of foundation of axiomatic set theory - cf. the discussion of Remark 3.3.1, (i).”
１．”violating the axiom of foundation ”は、当然ながら、公理系の中では許されない
２．では、”the notion of a species allows one to “simulate ∈-loops””とは、具体的に何なのか？ IUTでどういう役割を果たすのか？ きっと重要なのでしょうね、望月先生は一生懸命書いてあるから
３．なんとなく、”the notion of a species allows one to “simulate ∈-loops””を成り立たせるための仕掛けが、IUT IIIまでにしてあって
そこ、ショルツ先生に理解されなかったのでは？
きっと、奇妙に見えることをしているのでは？
省3
637(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/13(水)18:12 ID:uMe8boWM(21/22) AAS
メモ：圏論と環の関係の資料
<ローヴェア理論>
外部ﾘﾝｸ:www.math.mi.i.nagoya-u.ac.jp
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.mi.i.nagoya-u.ac.jp
圏と論理へのいざない・レクチャーノート
木原貴行 名大 情報学研究科 20200403
まえがき
省15
638: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/13(水)18:14 ID:uMe8boWM(22/22) AAS
>>636
>（ぶっちゃけショルツの指摘がこの話につながると
> 面白いんだがなぁと勝手に妄想してる次第）
ああ
そうなのか
それも面白いね
ぶっちゃけ、当方ヤジウマなので、そういう展開もあり。面白そうだ(゜ロ゜;
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.156s