Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 45

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368: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)06:28 ID:mjl0bfS3(1/41) AAS
>>367
どうも
コメントありがとう
「self-evidenceのレクチャーノート」とは？その定義は？（＾＾；

370(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)08:21 ID:mjl0bfS3(2/41) AAS
>>309 （>>369も？ｗ）補足
>>最初から、９個がダメとか言い出したら、それ「分かり易い説明」としては、失敗していると思う（＾＾；
>キューネンのPDFが落ちているのを思い出したな
>キューネンの下記では、「ZFC = Axioms 1?9. ZF = Axioms 1?8.」と説明しているな！ｗｗ（＾＾；

＜だめ押し＞ｗ（＾＾
まず、半可通がわーわー騒ぐ「論理式 ψ をパラメータとする公理図式」の話
下記ご参照
省19

371(4): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)08:22 ID:mjl0bfS3(3/41) AAS
>>370
つづき
>{x ∈ X｜ ψ (x)} で表す。
>{x ∈ X｜ x ∈ Y}を X ∩ Y で表す。

正直、これは何を言っているか分からなかったのでｗ（＾＾；
（余談ですが、論理式 ψを一階述語に限定するとか、高階まで許すとかいろいろあるようですが。保守的な立場は、一階限定です。矛盾が起きにくい）
実はｗ、下記のKenneth Kunen先生に分り易い説明があったのです（＾＾
省25

372(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)08:22 ID:mjl0bfS3(4/41) AAS
>>371
つづき

１．では、論理式 ψは、有限なのか、無限なのか？
２．それは数え方の問題でもあると思います
３．例えば、デデキント先生の本「数とは何か」にならって、ZFCで、”Φ (or 0; empty set)”から初めて、自然数N、整数Z、有理数Q、実数R を作ることを論文に纏めたとする
　この論文は、明らかに有限ページであり、使われる文字も有限です。この視点からすれば、使われた論理式 ψは明らかに有限です
４．一方で、自然数Nは可算無限集合であり、”S (ordinal successor function )”みたいなのを可算無限回使ったと考えると（例えば数学的帰納法などで）、 ”無限だ”と見ることもできる
省3

374(2): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)08:52 ID:mjl0bfS3(5/41) AAS
>>373
おサル（>>2）ご苦労

>論理式の個数ですよ　長さじゃないですよｗ
>ψに入り得る論理式の個数は無限にあるでしょ？
>まさか有限個しかないと思ってます？

では問うｗ
１．確かに、理論上論理式ψの個数に制限は無く、”数理哲学”でいうところの「可能無限」ではある
省6

376(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)09:36 ID:mjl0bfS3(6/41) AAS
>>371 補足

いまごろ気付いたがｗ（＾＾

１．”⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) ・・・
　達を、公理 Axioms 1,3,4,5 ＆ Axiom 6(Replacement Scheme) とか（勿論他の公理も）使って、通常の集合論の記号や用語を組立て”
　って話なんだよね
２．で、⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) ・・・
　これらは、全部公理じゃない！
省10

378(3): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)09:52 ID:mjl0bfS3(7/41) AAS
>>233
>外部ﾘﾝｸ:ja.yourpedia.org
>宇宙際タイヒミュラー理論 Yourpedia
>・　同じ言語上の二つの理論において、保存的拡大という用語を使用している。特にZFCGはZFCの保存的拡大ではない。

はい、では次にｗ
「ZFCGはZFCの保存的拡大ではない」に行きます
まず、保存拡大から、長文ご容赦（＾＾
省17

379: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)09:52 ID:mjl0bfS3(8/41) AAS
>>378

つづき

例
与えられた型の代数的対象全ての集まりは、たいてい真のクラスをなす。例えば、全ての群からなるクラス、全てのベクトル空間からなるクラス、など。圏論では、対象の集まりが真クラスをなすもの（または射の集まりが真クラスをなすもの）を大きい圏という。

パラドックス
ラッセルのパラドックスなどの素朴集合論のパラドックスは「全てのクラスが集合である」という正しくない仮定によって説明される。厳格な基礎付けの下では、これらはパラドックスなのではなくて、ある種のクラスが真クラスであることの証明を示唆するものであると捉えることができる。
ラッセルのパラドックスは「自分自身に属する集合」全体が真のクラスになることを示唆するし、ブラリ＝フォルティのパラドックスは全ての順序数からなるクラスが真のクラスであることを示唆している。
省7

381(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)09:55 ID:mjl0bfS3(9/41) AAS
>>377
>Ψは公理とか定理とかでなくていいんですって、
>どんな論理式でもいいの

ここだけ
違うよ
Ψは、あくまで、（例えばZFCなら）9つの公理から組み立てられる論理式
に限られるよ
省3

383(2): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)10:03 ID:mjl0bfS3(10/41) AAS
>>378
補足英文 Class (set theory) wikipedia

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Class (set theory)
(抜粋)
Examples
The collection of all algebraic structures of a given type will usually be a proper class. Examples include the class of all groups, the class of all vector spaces, and many others. I
省6

384(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)10:07 ID:mjl0bfS3(11/41) AAS
>>382
(引用開始)
>>380で実例示したよ　￢（ｘ∈ｘ）は公理でも定理でもないって
もうどうして間違った思い込みするんだろ
日本語読めないのかな？
(引用終り)

はいはい、ぼくちゃん、基礎論ごっこ楽しい？
省5

385(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)10:23 ID:mjl0bfS3(12/41) AAS
>>383
>However, the class existence axioms of NBG are restricted so that they only quantify over sets, rather than over all classes.
>This causes NBG to be a conservative extension of ZF.

つづき
ここ、実は ”conservative extension”にリンクが張ってあって、下記に飛べます（＾＾

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Conservative extension
省24

386(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)10:36 ID:mjl0bfS3(13/41) AAS
>>383
まず訂正
I
n category theory, a category whose collection of objects forms a proper class (or whose collection of morphisms forms a proper class) is called a large category.
　↓
In category theory, a category whose collection of objects forms a proper class (or whose collection of morphisms forms a proper class) is called a large category.

さて、なぜZFCGか？
省15

389(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)10:56 ID:mjl0bfS3(14/41) AAS
>>386
>>386 追加
受け売りというか、単なるコピペです
要するに、圏論では、しばしば集合論は狭すぎるのです
あと、下記「空間を圏で表す」も、上記”非標準的な「幾何学」”と類似ですが、見ておいてね（＾＾

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
圏 (数学)
省10

390(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)10:58 ID:mjl0bfS3(15/41) AAS
>>389
つづき

高次圏
圏が与えられているとき、そこからより複雑な高次圏を考えることができる。簡潔には、2 つの対象の間の射を「一方の対象からもう一方への対応関係」とみなすならば、これを高次圏において「高次の対応関係」を考慮することで、より有益な一般化が可能となる。

2-圏は「射の間の射」、つまり、ある射を別の射に変換する対応関係によって得られる圏である。これらの「2-射」は水平・垂直に「合成」することができ、かかる 2 つの合成則においては 2 次元の「交換則」が成り立つ。
この最も標準的な例は Cat、つまり全ての（小さな）圏から成る 2-圏であり、この例において、射には関手が、2-射には、関手の自然変換が当てはまる。もう 1 つの基本的な例としては、対象 1 つから成る 2-圏である?これは(狭義)モノイド圏である。

この手法を任意の自然数 n で拡張し、n-圏（n-category、n 次圏）を定義することができる。さらに順序数 ω に対する ω-category と呼ばれる高次圏もある。
省9

392(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)11:01 ID:mjl0bfS3(16/41) AAS
>>387-388
チコちゃん、５歳児なのに、えらいね〜（＾＾
え？　57歳なの？公理主義しらないの？

公理主義では、公理以外は使っちゃだめだめ！！
もう一度小学校で、公理主義お勉強しましょうねｗｗ（＾＾；

393: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)11:02 ID:mjl0bfS3(17/41) AAS
>>391
ZFCGの non-conservative extension の話だよ
それは、まだこれからなんだ（＾＾；

397(2): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)11:23 ID:mjl0bfS3(18/41) AAS
>>390
>歴史
>アレクサンドル・グロタンディーク

追加
（圏論グロタンディーク宇宙：公理系ZFCG ）
外部ﾘﾝｸ:qiita.com
Qiita
省18

398(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)11:24 ID:mjl0bfS3(19/41) AAS
>>397
つづき

最も一般的なグロタンディーク宇宙 U の用途はすべての集合の圏を U で置き換えるものである。S ∈U のとき、U-large でないなら、集合S は U-small となる。すべての U-small 集合の圏 U-Set は、すべての U-small の集合を対象として、それらの集合の間のすべての関数を射としてもつ。
対象の集合と射の集合の両方共集合であり、このことが固有類を用いることなく "すべての" 集合の圏を議論することを可能にしている。すると、この新しい圏の観点から別の圏の定義が可能になる。例えば、すべての U-small 圏の圏は宇宙 U の内部において、すべての対象の集合と射の集合の圏の圏になる。
すると通常の集合論の独立変数が、すべての圏の圏に適用される。さらに誤って固有類に対して言及する心配もなくなる。なぜならグロタンディーク宇宙は非常に広大であり、これはありとあらゆる数学的構造を充足させるからだ。

グロタンディーク宇宙において作業している場合、数学者はしばしば宇宙の公理を仮定する。"任意の集合 x に対し、x ∈U となるような宇宙 U が存在する。" この公理の重要な点は、任意の集合がいくつかの U に対して U-small が検討できることである。
つまり一般的なグロタンディーク宇宙に内部で、任意の独立変数が適用されるということである。この公理は強到達不能基数の存在と密接に関係している。
省5

399(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)11:24 ID:mjl0bfS3(20/41) AAS
>>398
つづき

強到達不能基数 κ が存在するとする。集合 S は任意の列 sn ∈・・・∈ s0 ∈ S に対し |sn| < κ となるとき、型 κ であると呼ぶことにしよう。(S 自身は空列に対応している。) すると、型 κ である集合全体の集合 u(κ) は濃度 κ のグロタンディーク宇宙となる。(この証明は長くなるため、詳細は参考文献のブルバキの論文を参照。)

到達不能基数 κ が存在する。u(κ) を前項の宇宙とする。x は型 κ であり、x ∈ u(κ)。宇宙の公理 (U) から巨大基数の公理 (C) が導かれることを示すために κ を基数とする。κ は集合なのでグロタンディーク宇宙 U の元である。U の濃度は κ より大きな強到達不能基数となる。

実際、任意のグロタンディーク宇宙はある κ に対し u(κ) の形となる。これはグロタンディーク宇宙と強到達不能基数の間の別の同値性を与えるものである:

グロタンディーク宇宙 U に対して、|U| は零、アレフ0、もしくは強到達不能基数のいずれかとなる。また、κ が零、アレフ0、もしくは強到達不能基数ならば、グロタンディーク宇宙 u(κ) が存在する。さらに、u(|U|) = U かつ |u(κ)| = κ となる。
強到達不能基数の存在は ZFC からは証明できないため、空集合と V_ω 以外の宇宙の存在はどれも ZFC から証明することができない。
省2

400(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)11:33 ID:mjl0bfS3(21/41) AAS
>>378

「ZFCGはZFCの保存的拡大ではない」に行きます

（>>385より）
（参考：本スレより転載）
Inter-universal geometry と ABC予想 52
2chｽﾚ:math
(抜粋)
省14

402: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)11:46 ID:mjl0bfS3(22/41) AAS
>>400 追加

さて、下記ご参照
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
圏 (数学)

例
集合の圏 Set
省17

404(2): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)11:55 ID:mjl0bfS3(23/41) AAS
>>401

（>>371よりｗｗ（＾＾；　）
（参考）
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.wisc.edu
The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF
2007/10/29 - c 2005,2006,2007 Kenneth Kunen. Kenneth Kunen
(抜粋)
省13

405(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)11:57 ID:mjl0bfS3(24/41) AAS
>>403
おサル必死
Kenneth Kunen 先生、知ってますかぁ〜！ｗｗ（＾＾；

407: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)12:01 ID:mjl0bfS3(25/41) AAS
>>403

ここ誤読しているんじゃね？
”Although the axiom schema of replacement is a standard axiom in set theory today,
it is often omitted from systems of type theory and foundation systems in topos theory.”
ｗｗ（＾＾；

409: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)12:39 ID:mjl0bfS3(26/41) AAS
>>406
>宇宙（数学）
>「最終ステップとして、無限和 (infinitary union) としてのSを形成するための置換公理が必要である。」

それ、ZFCの外の話で、公理9個とは無関係（下記）ｗ（＾＾；
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
クラス (集合論)

「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する。例えば、ツエルメロ＝フレンケル集合論 (ZF) ではクラスは厳密には存在しないが、他の集合論（たとえば、ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 (NBG)）では、「クラス」の概念は公理化されている（NBG の例だと、別の量 (entity) の要素にならないような量としてクラスが定義される）。
省9

410(5): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)12:53 ID:mjl0bfS3(27/41) AAS
>>404 補足

外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.wisc.edu
The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF
2007/10/29 - c 2005,2006,2007 Kenneth Kunen. Kenneth Kunen
(抜粋)
P10
Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, φ, without B free, ∀x ∈ A∃!y φ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B φ(x, y)
省24

415(2): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)13:18 ID:mjl0bfS3(28/41) AAS
>>410
>>410 補足

もう少し補足します

例えば
Φ (or 0; empty set)＝空集合
と
SING(x) (x is a singleton) ＝シングルトン (＝要素が1つだけの集合)
省16

416: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)13:19 ID:mjl0bfS3(29/41) AAS
>>415

性質
ツェルメロ・フレンケル集合論の枠組みの中では正則性の公理が「自身を元とする集合」が存在しないことを保証するから、単元集合とその単元集合を含む集合とは必然的に異なる数学的対象を意味するものとなる[1]。
つまり、1 と {1} とは同じものではないし、空集合のみからなる単項集合 {?} は空集合 ? ではない。また、例えば、{{1, 2, 3}} のような集合も、ただ一つの集合を元（その元自身は単集合ではない）として持つ単集合である。
単集合であることと、その集合の濃度が 1 であることは同値である。自然数の集合論的構成において、自然数の 1 とは単集合 {0} のことと定義される。
公理的集合論において、対の公理からの帰結として単元集合の存在が導かれる。即ち、任意の集合 A に対して、A と A に対して対の公理を適用すれば {A, A} なる集合の存在が保証されるが、これは A のみを元に持ちそれ以外の元は持たないから、単元集合 {A} に他ならない。
ここで A は任意の集合でよい、といっても集合がそもそもまったく存在しない場合には意味がないが、空集合の公理があれば少なくとも空集合 ? は集合になるから、A = ? ととって先の議論は正当化できる。
省3

418(3): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)14:25 ID:mjl0bfS3(30/41) AAS
>>417
必死の論点ずらしご苦労さん
（>>410再録）
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.wisc.edu
The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF
2007/10/29 Kenneth Kunen. Kenneth Kunen
(抜粋)
省26

419(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)14:39 ID:mjl0bfS3(31/41) AAS
>>418 補足

おサルは
The rest of the axioms are a little easier to state using some defined notions.
On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by:
x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y)
x = Φ ⇔ ∀z(z not∈ x)
y = S(x) ⇔ ∀z(z ∈ y ←→ z ∈ x ∨ z = x)
省18

428(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)17:03 ID:mjl0bfS3(32/41) AAS
>>425
粋蕎さん、どうも
お元気そうでなによりです

粋蕎さんにも、サル石がどういう存在か（つまりは>>2 サイコパスですが）
だんだん、お分かりになってきたようですね（＾＾

430(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)17:10 ID:mjl0bfS3(33/41) AAS
>>426
>質問には一切答えない
>集合論知らない素人は出て行って！

おサルさん
集合論の前に

「公理主義」を学びましょう〜！
「公理主義」では、決められた公理以外は使ってはいけません
省7

433(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)17:36 ID:mjl0bfS3(34/41) AAS
>>374
戻る
(引用開始)
１．確かに、理論上論理式ψの個数に制限は無く、”数理哲学”でいうところの「可能無限」ではある
２．一方で、人類がいままで書いてきた、書籍及び論文の数は明らかに有限であり、使われた文字数も有限である
３．「論理式ψの個数＜＝使われた文字数」を認めると、論理式ψの個数は、有限にすぎない
４．そして、これ（”論理式ψの個数は、有限にすぎない”）は、予想しうる未来の範囲では、正しいだろう
省10

436(2): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)17:49 ID:mjl0bfS3(35/41) AAS
>>309
(引用開始)
キューネンのPDFが落ちているのを思い出したな
キューネンの下記では、「ZFC = Axioms 1−9. ZF = Axioms 1−8.」と説明しているな！ｗｗ（＾＾；
（参考）
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.wisc.edu
The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF
省13

447(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)19:46 ID:mjl0bfS3(36/41) AAS
>>418 追加
（>>410再録）
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.wisc.edu
The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF
2007/10/29 Kenneth Kunen. Kenneth Kunen
(抜粋)
P10
省25

448(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)19:47 ID:mjl0bfS3(37/41) AAS
>>447
つづき

（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
公理的集合論
ZF 公理系
・空集合の公理　要素を持たない集合が存在する：
省20

456(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)20:23 ID:mjl0bfS3(38/41) AAS
>>448
渕野流では、（分出公理）と（置換公理）と、2つ並べて、公理を10個挙げている

”置換公理は，分出公理の拡張になっており，実際，置換公理と他の集合論の
公理から，分出公理の一つ一つの主張を導きだすことができる”
と書いている。本当は「分出定理」だろうけど、分り易くしたのだろう

ここらは、言ったモノ勝ちみたいなものでしょうかね？ｗ（＾＾；
（>>436 Yourpediaより）
省35

457(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)20:28 ID:mjl0bfS3(39/41) AAS
>>437
>つまり、人類が今まで書いたことがないほど長い論理式を書いてもいい

だから、有限なんでしょ？
有限でなにが悪い？（＾＾
それって、有限の話でしかないよなｗｗ（＾＾；

463(2): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)21:35 ID:mjl0bfS3(40/41) AAS
>>458
>初等数学に、基礎の公理は要らないって、書いてますよ！！！
>また、厳密には必要ではありませんが、記法としては便利です

渕野（下記）にも同様の記述あるよ
なお、それ”9個 or 無限？” からの論点ずらしだな（＾＾

（参考）
外部ﾘﾝｸ[pdf]:fuchino.ddo.jp
省24

464(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/10(日)22:50 ID:mjl0bfS3(41/41) AAS
>>463
>（基礎の公理）
>基礎の公理から，すべての集合 x に対し x ∈ x とはならないことがわかる．

＜追加＞
１．「x ∈ x とはならない」とは、どういうことか？
２．それは、「記号”∈”の性質を規定している」と理解するのが良いと思う
（集合の性質を決めているというよりも）
省28

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