Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 45

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466: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/05/11(月) 00:05:30 ID:AHfZgdJQ

>>225
(引用開始)
私の研究の主なテーマは、「双曲的代数曲線の数論」です。「双曲的代数曲線」とは、
大雑把に言うと、多項式で定義される幾何学的な対象の中で、上半平面で一意化され
るリーマン面に対応するものです。ただし、複素数体の上でしか意味を成さないリー
マン面の理論と違って、代数的な対応物を扱うことによって、数体や p 進局所体と
(引用終り)
「上半平面」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8A%E5%8D%8A%E5%B9%B3%E9%9D%A2
上半平面
(抜粋)
数学、とくにリーマン幾何学あるいは（局所）コンパクト群の調和解析において上半平面（じょうはんへいめん、英: upper half plane）は、虚部が正である複素数全体の成す集合をいう。上半平面は連結な開集合であり、それがリーマン球面に埋め込まれているとみなしたとき、その閉包を閉上半平面と呼ぶ。閉上半平面は上半平面に実軸と無限遠点を含めたものである。（開いた）上半平面を慣例的に H など と記す
（このとき、下半平面は H?  などと書かれ、対比的に上半平面を H+ などと記すこともある）。上半平面は、リー群の表現論やロバチェフスキーの双曲幾何学などの舞台として数論・表現論的、幾何学的に重要な役割を果たす。

双曲モデル
ポワンカレの上半平面モデルと呼ばれる双曲幾何のユークリッド空間内での実現がある。
双曲幾何のモデルとしての上半平面における「直線」（測地線）は、両端がそれぞれ実軸に直交する円周（直線も半径無限大であると見なして円に含める）である。

SL(2) の表現論
上半平面にリー群 GL(2, R) が
（計量を保って）作用する。H は同じ作用で SL(2) の作用を受ける。このとき、z = i の固定部分群は
略
が成り立つ。さらに SL(2, Z) のような離散部分群（しばしば Γ で表される）の作用で H を割った空間（これも適当な仕方でリーマン面の構造を持つ）の上の微分形式は保型形式と呼ばれる数論的対象を定める。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/466

467: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/05/11(月) 00:12:40 ID:AHfZgdJQ

>>465
コメントありがとう
9個の話は、下記
”[i.e., the nine axioms of Zermelo-Fraenkel, together with the axiom of choice -
cf., e.g., [Drk], Chapter 1, §3].”
で、”the nine axioms”に言い掛かりつけて、「望月先生が、基礎論・集合論を分かってない」というに

私は、” [Drk], Chapter 1, §3].”を見なきゃ、始まらないだろうし
[Drk]氏が、その著作にどう書いているの問題でもあるので
「望月先生が、基礎論・集合論を分かってない」という根拠には、全くならないって話なのです（＾＾；

（参考）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf
INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY IV: ¨
LOG-VOLUME COMPUTATIONS AND
SET-THEORETIC FOUNDATIONS
Shinichi Mochizuki
April 2020
P67
Section 3: Inter-universal Formalism: the Language of Species
In the following discussion, we shall work with various models - consisting
of “sets” and a relation “∈” - of the standard ZFC axioms of axiomatic set theory
[i.e., the nine axioms of Zermelo-Fraenkel, together with the axiom of choice -
cf., e.g., [Drk], Chapter 1, §3].

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/467

507: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/05/11(月) 20:03:54 ID:AHfZgdJQ

>>498-501 補足

このIUT IV P74 Remark 3.3.1. をコピーしたのは
“∈-loops”とか、”∈-structure of the set theory”とか ”In the context of constructing “loops” in a mutation-history”、”“output species-objects” of the “S” on the right that”
とか

なんか (>>463より) 渕野 「基礎の公理」
”基礎の公理は技術的な理由で付け加えられた公理と言えるが，
この公理を集合論の公理系に加えることの妥当性は，
(1) x ∪ P(x) ∪ P(P(x)) ∪ ・ ・ ・の7任意の部分集合が ∈ に関する極小元を持つような集合 x の全体が基礎の公理を含む集合論の公理系を満たすものになること
- 特にこのことから，ZFC から基礎の公理を除いたものが矛盾しないなら，（基礎の公理も含む）ZFC も矛盾しないことがわかる；
(2) 上で定義した N, P(N), . . . など集合論の枠組の中で通常の数学を展開するのに必要となる集合は，すべて (1) のような性質を持つものになっていること；
(3) 基礎の公理での性質を満たさない集合の存在を保証する公理を集合論の他の公理に付け加えても (1) の性質を持つ集合に関しては何ら新しい結論が得られないこと8，により保証されている，と考えることができる．
注8つまり，このような拡張された公理系は集合論の公理系の一種の保守拡大になっている．”
って、話に繋がるのと

”species”との絡みで、>>284より”The category of species is equivalent to the category of symmetric sequences in finite sets.[1]”から
ZFCGに繋がる話かなと思って、メモしたんだ

IUT論文を読む？　めっそうも無いｗ
海外の一流の天才・秀才数学者たちが「読めない！」と言っている論文が、「読める」とかそんな恐ろしいことは言えません
でも、”基礎の公理”などとの関連性を調べらることは、できます（＾＾

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/507

509: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/05/11(月) 20:37:01 ID:AHfZgdJQ

>>508
>　（IUTって、なんか 納得性と美しさがない感じがある。「難解すぎ」かも。まあ、これからですよね、これから　（＾＾　）

１．長い 読めない証明のギネスは、有限単純群の分類定理です。”which is probably around 10000 to 20000 pages.”と言われる
２．ここのほんの一部ですが、”Quasithin groups The classification of the simple quasithin groups by Aschbacher and Smith was 1221 pages long, one of the longest single papers ever written.”です
　Quasithinというのは、和訳では「準薄」とか書かれることが多いようですが、この部分だけで 1221 pagesだとか。IUT I〜IV 計600ページの２倍です
３．で、この有限単純群の分類定理 を全部読んだ人は、おそらく居ない！ｗ
　（多分 「準薄」の1221 pagesだって、読む人は ほんの小数でしょうね（この1221 pagesは、おそらく特殊分野で 論文としては孤立していて、他にはあまり使えないかも））
４．しかし、「有限単純群の分類定理」は、納得性があるのです。ここでは書きませんが。解説書も、何冊か出ています。（私は、岩波の鈴木通夫先生の上下２冊を読みましたけど）
５．いずれ、IUTもそうなると思います。（準備論文を含めると、数千ページなのでしょう。納得性のある解説が、求められます（＾＾；　）

（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_long_mathematical_proofs
List of long mathematical proofs
(抜粋)
As of 2011, the longest mathematical proof, measured by number of published journal pages, is the classification of finite simple groups with well over 10000 pages.
There are several proofs that would be far longer than this if the details of the computer calculations they depend on were published in full.

・2004 Quasithin groups The classification of the simple quasithin groups by Aschbacher and Smith was 1221 pages long, one of the longest single papers ever written.
・2004 Classification of finite simple groups. The proof of this is spread out over hundreds of journal articles which makes it hard to estimate its total length, which is probably around 10000 to 20000 pages.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/509

510: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/05/11(月) 20:51:03 ID:AHfZgdJQ

>>509
＞　（多分 「準薄」の1221 pagesだって、読む人は ほんの小数でしょうね（この1221 pagesは、おそらく特殊分野で 論文としては孤立していて、他にはあまり使えないかも））

そうそう、思い出したので、書いておきます
１．この 「準薄」のところ、数学で”STAPもどき”の事件がありました
２．どこで読んだか忘れたが、下記の Mason, Geoffreyという人が、” 「準薄」の論文の証明できた〜！”と言ったのです
３．で、それを信じた ゴーレンシュタイン先生が、高らかに「有限単純群の分類 完成！」と発表した
４，ところが、発表の後で、調べると Mason, Geoffrey 氏の論文に大きなギャップがあることが分かった。それはどうも 単なるミスではなく、信じがたいことに 「出来ていない証明を 出来た」と虚偽報告したそうなのです
５．1980年代のことでした。多分、Mason, Geoffrey 氏は、プレッシャーに負けて、虚偽報告したらしい
　（Mason, Geoffrey 氏は、 ”「準薄」の部分の証明はおれに任せろ！”と手を挙げて、やり出したらしいのですが、出来なかったらしい（＾＾；）

（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Quasithin_group
Quasithin group
(抜粋)
Classification
The classification of quasithin groups is a crucial part of the classification of finite simple groups. The quasithin groups were classified in a 1221-page paper by Michael Aschbacher and Stephen D. Smith (2004, 2004b).
An earlier announcement by Geoffrey Mason (1980) of the classification, on the basis of which the classification of finite simple groups was announced as finished in 1983, was premature as the unpublished manuscript (Mason 1981) of his work was incomplete and contained serious gaps.

References
・Mason, Geoffrey (1980), "Quasithin groups", in Collins, Michael J. (ed.), Finite simple groups. II, London: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], pp. 181?197, ISBN 978-0-12-181480-9, MR 0606048
・Mason, Geoffrey (1981), The classification of finite quasithin groups, U. California Santa Cruz, p. 800 (unpublished typescript)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/510

522: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/05/11(月) 22:57:52 ID:AHfZgdJQ

>>509 追加

お馴染み、「とね日記」より（＾＾
「散在群の全体は・・るいろいろな数学者による証明の合作。全体を通して証明を確認した人はいない」

https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/f8c531f52d2a788ea6906555dcbfb87c
とね日記
素数の話、解の公式の話（朝日カルチャーセンター）20140929
(抜粋)
9月27日は１年ぶりに大栗博司先生による数学講座を聴講してきた
素数の話、解の公式の話（朝日カルチャーセンター）
http://www.asahiculture.com/LES/detail.asp?CNO=257160&userflg=0

流れは次のようなものだった。
午前 素数の話
- 素因数分解は一意（ユークリッド）
- 素数は無限個ある
- 素数の分布、密度分布をあらわす関数を求める
- ネイピア数、自然対数、常用対数の話
- 素数の判定、素数テスト
- 剰余類の話
- フェルマーの小定理
- RSA暗号、公開鍵のしくみ
- オイラー関数
- 量子コンピュータ、量子暗号理論

午後 解の公式の話（ガロア理論）
- リーマンのゼータ関数
- オイラーによるゼータ関数の素数を使った表現
- イスラム世界からヨーロッパに数学が入った
- 3次方程式の解、16世紀にデル・フェッロが解いた
- 4次方程式、フェラーリ
- 「解けるとは？」：解を加減乗除とべき根で書けること
- 18世紀、ラグランジュは「なぜ解けるのか？」を研究
- アーベル、ガロア＝ビクトル・ユゴーのレ・ミゼラブルと同時代
- アーベル（1802-1828)：5次方程式は解けない
- 共通する性質＝群という性質、群の定義
- 3次方程式における解と係数の関係
- 5次方程式の場合は無理
- 正20面体の話、20面体群、単純群の話
- モンスター群に至る散在群の話、Atlas of Finite Group
- 散在群の全体は・・いろいろな数学者による証明の合作。全体を通して証明を確認した人はいない
- 5次方程式はべき根に制限しなければ楕円関数、超幾何関数を使って解ける
- マシュー群は物理と関連があることがわかった

全ての有限単純群の数え上げを証明したのはゴーレンシュタインが率いる研究チームで、半世紀にわたり数百本の論文を発表し、全部合わせると数万ページになるという
同級生のI君も「これだけ分かりやすい講義は素晴らしい。」と感激していた

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/522

524: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/05/11(月) 23:23:00 ID:AHfZgdJQ

>>523

「有限単純群の分類」を、お話風にいうと
１）群の位数が大きくなると、単純群は 3つの無限個クラスの群、素数位数の巡回群 Cp ＆ 次数5以上の交代群 An ＆ リー型の単純群 に限られる
２）群の位数が小さいとき＊、26の例外的な散在型単純群が存在しうる
　（注＊：小さいというも、モンスター群の位数は大きい）

１）と２）を厳密にやると2万ページ

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
有限単純群の分類
(抜粋)
有限単純群の分類 (classification of the finite simple groups) とは、数学において全ての有限単純群を4つの大まかなクラスへと分類する定理である。

分類定理の主張
詳細は「en:List of finite simple groups」を参照
分類定理 ― 全ての有限単純群は以下の群のいずれかと同型である:

以下3つの無限個クラスの群:
・素数位数の巡回群 Cp
・次数5以上の交代群 An
・リー型の単純群

・26の散在型単純群（英語版）
・ティッツ群（英語版） 2F4(2)′ - リー型の群や27番目の散在型単純群に分けられることもある

分類定理は数学の多くの分野において応用がある。 有限群（また他の数学的対象に対するそれらの作用）の構造についての疑問は、有限単純群のそれへと簡約することが出来る。 分類定理のお陰で、そのような疑問は単純群や散在群の族をチェックすることで答えることが出来る。

1983年にダニエル・ゴーレンシュタインは有限単純群が完全な分類が成されたと発表した。 しかしこれは準薄群（英語版）の分類の証明についての錯誤があったため尚早であった。 欠けていた準薄のケースについての1221ページにも及ぶ証明がアシュバッハーとスミスにより出版された後に、 分類定理の証明の完成が Aschbacher (2004) によりアナウンスされた。

何故この証明はこんなにも長いのか？
・最も明らかな理由は、単純群の一覧が完全に複雑だからである：すなわち、26の散在型単純群についてのように、どんな証明にも多くの特別なケースを考慮に入れなくてはならない。
　そのため、ディンキン図形を用いたコンパクトリー群のパラメーター化に似た、有限単純群のスッキリとした規則的な説明を誰も発見できていない。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/524

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