Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 45

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958: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/05/17(日) 09:29:24.75 ID:9UHEbX30

>>956
どうも、コメントありがとう

>いずれも公理系から定理を導く部分には誤りはあっても不正はない
>たとえ誤っていることを承知の上で公表しても、それは誤りであっていわゆる不正とは呼ばないのではないか

同意
・そして、いまの基礎論のトレンドは「逆数学」（下記）と、それに基礎論ではないかも知れないが、圏論です
・”公理系から定理を導く部分には誤りはあっても不正はない”
　が、それは結構難しいのです
　∵無矛盾を求められ、かつ、公理系から普通の自然数−整数−実数−複素数−関数−代数系（群、環、体）を導けるものでなければならない。なので、それほど任意性はない！

・だから、圏論に乗っけて、新しい圏を考えて、その上で数学を展開するのが、20世紀後半から現代までのトレンド
　（例：有名どころでは、深谷圏、淡中圏など（あと望月圏とか出ないかな〜ｗ））
・望月先生としては、着想は「突拍子もない」ことなんだろうが、結構従来の数学の路線の上のつもり

・だから、ZFCとかZFCGとか、言い訳が出てくる。（個人的には、望月圏を考えたらすっきりしないかな？と思うけどね）
・で、戻ると「従来の公理系の中で、矛盾なくIUTが成立っている」というのが、望月先生であり、査読者および柏原・玉川両先生の主張でしょう（＾＾

（>>832）
いまのトレンドは、「逆数学」（下記）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E6%95%B0%E5%AD%A6
逆数学

逆数学とは、数学の定理の証明に必要な公理を決定しようとする数理論理学のプログラムである。簡単に言えば、通常の数学が公理から定理を導くのとは逆に、「定理から公理を証明する」手法を用いることが特徴である。
「選択公理とツォルンの補題はZF上で同値である」、というような集合論の古典的定理は、逆数学プログラムの予兆となるものだった。
しかし、実際の逆数学では主に、集合論の公理ではなく、通常の数学の定理を研究するのを目的とする。

逆数学は大抵の場合、2階算術について実行され、定理が構成的解析と証明論に動機付けられた2階算術の部分体系のうち、どれに対応するのかを研究する。
2階算術を使うことで、再帰理論からの多くの技術も利用できる。
実際、逆数学の結果の多くは、計算可能性解析の結果を反映している。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/958

965: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/05/17(日) 10:34:59.96 ID:9UHEbX30

>>964
そうですね
そして、クレイのミレニアム懸賞問題 ”ヤン?ミルズ方程式の存在と質量ギャップ問題” １億円 があります

これは、数学者が解いても良い、物理学者が解いても良い
数学者は数学の問題と思う、物理学者は物理の問題と思うのです

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%83%B3%E2%80%93%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%82%BA%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E3%81%A8%E8%B3%AA%E9%87%8F%E3%82%AE%E3%83%A3%E3%83%83%E3%83%97%E5%95%8F%E9%A1%8C
ヤン?ミルズ方程式と質量ギャップ問題
ヤン?ミルズ方程式の存在と質量ギャップ問題（ヤン?ミルズほうていしきのそんざいとしつりょうぎゃっぷもんだい、英: Yang?Mills existence and mass gap）とは、量子色力学および数学上の未解決問題である。2000年、アメリカ合衆国のクレイ数学研究所はミレニアム懸賞問題の一つとしてこの問題に100万ドルの懸賞金をかけた。
公式な問題記述
問題文は次の通り[1]。
ヤン・ミルズ方程式の存在と質量ギャップ問題。任意のコンパクトな単純ゲージ群 G に対して、非自明な量子ヤン・ミルズ理論が {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}\mathbb{R}^4 上に存在し、質量ギャップ Δ > 0 を持つことを証明せよ。
存在とは、Streater & Wightman (1964)、Osterwalder & Schrader (1973) や Osterwalder & Schrader (1975) で挙げられているものと少なくとも同等以上に強い公理的性質を確立することを含む。
このステートメントにおいて、ヤン＝ミルズ理論は素粒子物理学の標準模型の基礎にあるものと類似した非可換な場の量子論である。{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}\mathbb{R}^4 は4次元ユークリッド空間であり、質量ギャップ（英語版） Δ はこの理論によって予言される最小質量を持つ粒子の質量である。
従って、受賞者となるには以下を証明する必要がある。
・ヤン・ミルズ理論が存在し、現代の数理物理学、なかんづく構成的場の理論を特徴付けている厳密さの基準を満たすこと[2][3]。
・その理論が予言する力場における最小質量を有する粒子の質量が厳密に正であること。
たとえば、G=SU(3) （強い力の相互作用）である場合は、グルーボールの質量に下限が存在し、それより軽くはできないことを証明する必要がある。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/965

967: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/05/17(日) 10:44:27.47 ID:9UHEbX30

>>965
補足

私見ですが
１．素粒子を質点と考えると、相対性理論により、時空のゆがみが大きくなりすぎる
２．プランク質量とのからみで、時空の取扱いを入れた 超対称大統一理論などが、質量ギャップ問題の解を与えるのでは ないでしょうか？（＾＾；

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E5%A4%A7%E7%B5%B1%E4%B8%80%E7%90%86%E8%AB%96
超対称大統一理論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
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超対称大統一理論 （ちょうたいしょうだいとういつりろん、Supersymmetric Grand Unified Theory : SUSY GUT）とは大統一理論 (GUT) を超対称化した理論、仮説である。

素粒子標準理論ではヒッグス粒子の質量パラメータに対して2次発散が生じ、素朴にはプランク質量程度 (?1036GeV2) になると期待される。
しかしながら、この質量パラメータは現実的には電弱スケール (?104GeV2) 程度でなければならず、繰り込みを受けることによって32桁にわたる尋常ではない相殺が起きていると考えられている。これは自然がそのように選ばれていると考えることもできるが、多くの研究者は不自然なことであると認識している。
この問題をゲージ階層性問題と呼ぶ。

超対称性理論はゲージ階層性問題に対する一つの答えとなっており、高エネルギーを記述する理論として着目されている。一方で、理論に超対称性を課すと大統一理論の観点から魅力的な出来事が起こる。以下このことについて説明する。

ゲージ結合の強さは測定するエネルギースケールによって変化し、その変化の度合いは繰り込み群という手法を使って計算でき、 標準理論においては三つのゲージ群のゲージ結合定数は1016GeVでほぼ一致することが知られているが、厳密には一致していない。
しかし超対称標準理論でゲージ結合定数の変化を調べた場合、結合定数の一致する程度が標準理論と比較して格段に上がる。これは自然が超対称性をもっており、大統一が実現されていることを示唆するのではないかと思われる。
しかし、現実的な大統一理論はいまだ構築されておらず、一部では第5の時空の次元（第4の空間方向）を考えた余剰次元理論なども提唱されている。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/967

974: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/05/17(日) 11:46:08.12 ID:9UHEbX30

>>973
ありがとさん（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%E7%9A%84%E3%83%88%E3%83%9D%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC
幾何学的トポロジー

低次元トポロジーと高次元トポロジーの差異
多様体は、低次元と高次元の振る舞いは極端に異なっている。

高次元トポロジーは、5 あるいは、それ以上の次元の多様体を指すか、または、相対的な場合には、余次元が 3 あるいは、それ以上の次元の埋め込みを指す。
一方、低次元トポロジーは、4 以下の次元の問題に関係しているか、あるいは、余次元 2 以下での埋め込みに関係している。

次元が 4 は特別で、ある見方（トポロジックな）では次元 4 は高次元であることに対し、他の見方（微分同相として）では次元 4 は低次元である。この重なりによって、次元 4 では、たとえば、R4 上のエキゾチックな微分構造（英語版）(exotic differentiable structures on R4)のような、例外的な現象が生み出される。
このように、4次元多様体のトポロジー的な分類は原理上は簡単であり、重要な問題は、位相多様体は微分可能構造を持つか？と、もし微分可能構造を持つならばどのくらい持つのか？、である。次元が 4 の滑らかな場合は、重要な問題として一般ポアンカレ予想（英語版）(generalized Poincare conjecture)が未だ解決されていないことが挙げられる。グルックのツイスト（英語版）(Gluck twist)を参照。

この差異の理由は、次元 5 とそれ以上の次元では手術理論（英語版）が働くので（実際、手術理論は次元 4 ではトポロジカルには働くが、その証明は非常に複雑である)、従って、5次元、あるいはそれ以上の次元での多様体の振る舞いは、手術理論により代数的に制御される。
4次元とそれ以下の次元（位相的には 3次元とそれ以下の次元）では、手術理論は働かず、別の現象が発生する。実際、低次元多様体を議論するひとつのアプローチは、「手術理論が正しいと予想できるものが、働くであろうか？」と問い、そして、それからの差として低次元の現象を理解することである。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/974

975: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/05/17(日) 11:47:05.31 ID:9UHEbX30

>>974
つづき

次元 5 の場合との差異の詳しい理由は、手術理論の基礎となっている重要な技術的トリックであるホイットニーの埋め込み定理（英語版）(Whitney embedding theorem)が、2 + 1 次元を要求するからである。
大まかにいうと、このトリックによって、結び目のある球面を"結び目なし"にすることができる。より正確には、はめ込みの自己交叉を削除できる。このことは円板のホモトピーを通して行われる。
円板は次元が 2 であり、ホモトピーはもう 1 次元必要で、従って余次元が 2 より大きければ、自己交叉なしで手術を行うことが可能である。従って、余次元が 2 より大きい場合の埋め込みは、手術理論で考えることが可能である。
手術理論では、重要な段階が中間次元にあるので、中間次元の余次元が 2 より大きい場合（概略では 2? で十分で、全体の次元は 5 で十分である)、ホイットニーのトリックが働く。
この重要な結果が、スメール(Smale)のh-コボルディズム定理（英語版）(h-cobordism theorem)であり、次元 5 とそれ以上で働き、手術理論の基礎をなす。

ホイットニーのトリックの変形は、4 次元でも可能で、キャッソンハンドル（英語版）(Casson handle)と呼ばれる。十分な次元が存在しないため、ホイットニーの円板は新しい捩れ(kink)を発生させ、それを他のホイットニーの円板により解消させることができる。
このことから円板の列（「塔」）が発生する。この塔の極限は、トポロジカルではあるが、微分可能ではない写像を得るので、4次元で手術はトポロジカルに機能するが、微分可能ではない。

幾何学的トポロジーの重要なツール
詳細は「幾何学的トポロジーのトピック一覧（英語版）(List of geometric topology topics) 」を参照
基本群
詳細は「基本群」を参照
すべての次元で、多様体の基本群は、非常に重要な不変量であり、構造の多くを決定する。次元 1, 2, 3 では、可能な基本群は限定され、一方、4 以上の次元では、すべての有限表示群は、多様体の基本群である（4次元と5次元多様体に対し、このことを示し、高次元の場合は球面との積を取ることで十分であることに注意する）。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/975

986: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/05/17(日) 13:03:57.07 ID:9UHEbX30

>>971
>懸賞問題≒クソ問題
>だよ。
>若者ならば、問題を作ることから始めるべき。

どうも
コメントありがとう
・そういう考えもあるが、いまどういう問題があり、どういう問題が解かれたか？　それを知っておくのも無駄ではあるまい
・「問題を作る」というよりも、ある理論を考えていると 自然に「これ成立つんじゃない？」「これ成立つなら嬉しい」とかが、出てくるときもあるよね

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E4%B8%8A%E3%81%AE%E6%9C%AA%E8%A7%A3%E6%B1%BA%E5%95%8F%E9%A1%8C
数学上の未解決問題

未解決問題の定義を「未だ証明が得られていない命題」という立場を取るのであれば、そういった問題は数学界に果てしなく存在する。
ここでは、リーマン予想のようにその証明結果が数学全域と関わりを持つような命題、P≠NP予想のようにその結論が現代科学・技術のあり方に甚大な影響を及ぼす可能性があるような命題、問いかけのシンプルさ故に数多くの数学者や数学愛好家達が証明を試みてきたような有名な命題を列挙する。

目次
1 ミレニアム懸賞問題
2 その他の未解決問題
2.1 「―は無限に存在するか」系
2.2 「―は存在するか」系
2.3 「―は全て――」系
2.4 「―はいくつか」系
2.5 その他
3 分野別
3.1 加法的整数論
3.2 代数
3.3 代数幾何
3.4 代数的数論
3.5 解析
3.6 組合せ論
3.13 数論
・ABC予想(en:ABC conjecture)
・スピロ予想（en:Szpiro's conjecture）
・ヴォイタ予想（en:Vojta's conjecture）

4 近年解かれた問題
佐藤・テイト予想（2006年）
ポアンカレ予想（2002年）
カタラン予想（2002年）
加藤予想[3] (Kato's conjecture)（2001年）
谷山・志村予想（1999年）
ケプラー予想（1998年）
フェルマーの最終定理（1994年）
ビーベルバッハ予想（ド・ブランジュの定理）(Bieberbach conjecture)（1985年）
四色定理（1977年）
ヴェイユ予想（1974年）
連続体仮説（1963年）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/986

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