[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 45 (1002ﾚｽ)
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40: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/04(月)19:23 ID:ncpDqOGk(31/40) AAS
>>39
つづき
ｌ進コホモロジー群
エタール・コホモロジーは係数がZ/nZの場合には上手く働くが、ねじれを持たない(たとえば整係数や有理係数)場合は満足する結果を与えない。エタール・コホモロジーからねじれを持たないコホモロジー群を得るためには、ねじれを持つ係数のエタール・コホモロジーの逆極限をとればよい。
これはｌ進コホモロジーもしくはｌ進エタール・コホモロジーと呼ばれる。ここでｌは考えているスキームVの標数pとは異なる任意の素数を表す。たとえば定数層Z/ｌkZのエタール・コホモロジー
の逆極限
としてｌ進コホモロジーが定義される。ここで注意しなければならないのだが、コホモロジー(右導来関手をとる操作)は逆極限をとる操作と可換ではない。したがってこのｌ進コホモロジーはエタール層Zｌに係数をもつエタール・コホモロジーとは異なるものである。後者のコホモロジーは存在するが"悪い"コホモロジー群を与える。
ｌ進コホモロジーからねじれ部分群を取り除き、標数0の体上のベクトル空間としてコホモロジー群を得たいならば
と定義する。ここでこの記法は誤解を与えるのだが、Qｌはエタール層でもｌ進層でもない。
性質
一般的に多様体のｌ進コホモロジー群は複素多様体の特異コホモロジー群と似たような性質を持つ。ただ特異コホモロジーは整数もしくは有理数上の加群であるのに対して、ｌ進コホモロジーはｌ進整数もしくはｌ進数上の加群になる。非特異な射影多様体上のｌ進コホモロジーはポアンカレ双対性を満たすほかケネスの公式も満たす。
一方ｌ進コホモロジーは特異コホモロジーと異なり、ガロア群の作用を持つという性質がある。たとえば有理数体上定義された複素多様体のｌ進コホモロジー群は有理数体の絶対ガロア群の作用を持ち、ガロア表現と関係が深い。
(引用終り)
以上
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