Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 45

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252: １３２人目の素数さん [sage] 2020/05/08(金) 13:45:23 ID:qXGvfbUV

>>236
>https://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory
>Zermelo-Fraenkel set theory
> 2.3 3. Axiom schema of specification (also called the axiom schema of separation or of restricted comprehension)
(引用終り)

追加
これ、現代では大分見直しされているようですね（＾＾；
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_schema_of_specification
Axiom schema of specification
(抜粋)
In many popular versions of axiomatic set theory, the axiom schema of specification, also known as the axiom schema of separation, subset axiom scheme or axiom schema of restricted comprehension is an axiom schema. Essentially, it says that any definable subclass of a set is a set.

Because restricting comprehension avoided Russell's paradox, several mathematicians including Zermelo, Fraenkel, and Godel considered it the most important axiom of set theory.

Relation to the axiom schema of replacement
The axiom schema of separation can almost be derived from the axiom schema of replacement.
For this reason, the axiom schema of specification is often left out of modern lists of the Zermelo?Fraenkel axioms. However, it's still important for historical considerations, and for comparison with alternative axiomatizations of set theory, as can be seen for example in the following sections.
Unrestricted comprehension
Accepting only the axiom schema of specification was the beginning of axiomatic set theory.
Most of the other Zermelo?Fraenkel axioms (but not the axiom of extensionality, the axiom of regularity, or the axiom of choice) then became necessary to make up for some of what was lost by changing the axiom schema of comprehension to the axiom schema of specification ? each of these axioms states that a certain set exists,
and defines that set by giving a predicate for its members to satisfy, i.e. it is a special case of the axiom schema of comprehension.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/252

281: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/05/08(金) 15:54:08 ID:qXGvfbUV

>>280
>>>259がrobertsについてミスリードしていたようだったからそうじゃないよってことが説明したかっただけ

了解です
ありがとう（＾＾

>そもそも、専門外に口を出すというのは、まさにIUT4章で望月自身が行っていることだしね

IUT IV の§3ですよね
あそこは、多分、”Inter-universal”の由来の説明（なんか、加藤文元本のアシストみたいですが（余談ですが「宇宙をつなぐ」だったかが、一般受けした？（＾＾；））
と
組み合わせ論で、“species”ですか？　これを、一生懸命に説明しているように読みました（＾＾
（なんか、勉強半分、言い訳半分みたいな、不思議なことを書いているという印象でしたｗ）

でも、私が調べた範囲では、組み合わせ論の“species”って
結局圏論ベースみたいなので
だったら、ZFCとか拘る必要はないと見ましたけどね？ （＾＾；

（参考）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf
INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY IV: ¨
LOG-VOLUME COMPUTATIONS AND
SET-THEORETIC FOUNDATIONS
Shinichi Mochizuki
April 2020
P67
In the present §3, we develop ? albeit from an extremely naive/non-expert
point of view, relative to the theory of foundations! ? the language of species.
Roughly speaking, a “species” is a “type of mathematical object”, such as a
“group”, a “ring”, a “scheme”, etc.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/281

283: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/05/08(金) 16:52:12 ID:qXGvfbUV

>>281 補足
＞組み合わせ論で、“species”ですか？

（参考）
http://pantodon.shinshu-u.ac.jp/topology/literature/species.html
Algebraic Topology: A guide to literature 信州大
Species
(抜粋)
Species とは , Joyal により [ Joy81 ] で 導入 された 概 念 である 。 定 義 はとても 単 純 で , Σ を 有 限 集 合 と 全 単 射 の 成 す 圏 としたときに , 単 に 関 手

F : Σ -→ Σ
のことである 。 文 献 としては , Bergeron と Labelle と Leroux の 本 [ BLL98 ] がある 。 J. Kock の web site からも 解 説 の PDF を download できる 。

定 義 は simple であるが , 各 種 の 数 え 上 げの 問 題 で 有用 な 道 具 らしい 。

https://ncatlab.org/nlab/show/species
species
(抜粋)
Contents
1. Idea
2. Definition
1-categorical
2-categorical
(∞,1)-categorical
Operations on species
Sum
Cauchy product
Hadamard product
Dirichlet product
Composition product
3. In Homotopy Type Theory
Operations on species
Coproduct
Hadamard product
Cauchy product
Composition
4. Properties
Cardinality
5. Variants

1. Idea
A (combinatorial) species is a presheaf or higher categorical presheaf on the groupoid core(FinSet), the permutation groupoid.
A species is a symmetric sequence by another name. Meaning: they are categorically equivalent notions.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/283

284: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/05/08(金) 16:52:50 ID:qXGvfbUV

>>283

つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Combinatorial_species
Combinatorial species
(抜粋)
In combinatorial mathematics, the theory of combinatorial species is an abstract, systematic method for analysing discrete structures in terms of generating functions. Examples of discrete structures are (finite) graphs, permutations, trees, and so on; each of these has an associated generating function which counts how many structures there are of a certain size.

Category theory provides a useful language for the concepts that arise here, but it is not necessary to understand categories before being able to work with species.

The category of species is equivalent to the category of symmetric sequences in finite sets.[1]

.Category theory provides a useful language for the concepts that arise here, but it is not necessary to understand categories before being able to work with species.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/284

309: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/05/08(金) 23:34:24 ID:g/NZ4Ytw

>>246
>最初から、９個がダメとか言い出したら、それ 「分かり易い説明」としては、失敗していると思う（＾＾；

キューネンのPDFが落ちているのを思い出したな
キューネンの下記では、「ZFC = Axioms 1?9. ZF = Axioms 1?8.」と説明しているな！ｗｗ（＾＾；

（参考）
https://www.math.wisc.edu/~miller/old/m771-10/kunen770.pdf
The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF
2007/10/29 - c 2005,2006,2007 Kenneth Kunen. Kenneth Kunen

P10
I.2 The Axioms
Axiom 0. Set Existence. ∃x(x = x)
Axiom 1. Extensionality. ∀z(z ∈ x ←→ z ∈ y) → x = y
Axiom 2. Foundation. ∃y(y ∈ x) → ∃y(y ∈ x ∧ ￢∃z(z ∈ x ∧ z ∈ y))
Axiom 3. Comprehension Scheme. For each formula, φ, without y free, ∃y∀x(x ∈ y ←→ x ∈ z ∧ φ(x))
Axiom 4. Pairing. ∃z(x ∈ z ∧ y ∈ z)
Axiom 5. Union. ∃A∀Y ∀x(x ∈ Y ∧ Y ∈ F → x ∈ A)
Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, φ, without B free, ∀x ∈ A∃!y φ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B φ(x, y)
Axiom 7. Infinity. ∃x（{} ∈ x ∧ ∀y ∈ x(S(y) ∈ x)）注：{}は空集合
Axiom 8. Power Set. ∃y∀z(z ⊆ x → z ∈ y)
Axiom 9. Choice. {} not∈ F ∧ ∀x ∈ F ∀y ∈ F(x ≠ y → x ∩ y = {}) → ∃C ∀x ∈ F(SING(C ∩ x)) 注：{}は空集合

ZFC = Axioms 1?9. ZF = Axioms 1?8.

http://blacaman.tripod.com/cursos/pdf/2012-2_0941.pdf
Kunen, Kenneth. Set theory. (Studies in logic and the foundations of mathematics; v. 102)

（上記の訳）
アマゾン/dp/4535787484
キューネン数学基礎論講義 (日本語) 単行本 ? 2016/7/21
ケネス・キューネン (著), 藤田 博司 (翻訳)
内容（「BOOK」データベースより）
名著『集合論』の著者キューネンによる数学基礎論の教科書、待望の邦訳。公理的集合論からゲーデルの不完全性定理まで幅広い題材を、哲学的な話題も含めてていねいに解説します。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/309

314: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/05/09(土) 00:15:38 ID:NFbqSkQk

>>309
>キューネンの下記では、「ZFC = Axioms 1-9. ZF = Axioms 1-8.」と説明しているな！ｗｗ（＾＾；

キューネン先生の”SET THEORY An Introduction to Independence Proofs”（1999）（下記）
では
ZFC is the system of Axioms 0-9.
ZF consists of Axioms 0-8,
として、Axiom 0 を含めているね

気まぐれかも知れないが
それは所詮些末な話よｗ（＾＾；
”infinite ”（無限個）だけは、無さそうだな！ｗ　きっと！ｗｗ（＾＾

（参考）
http://blacaman.tripod.com/cursos/pdf/2012-2_0941.pdf
SET THEORY An Introduction to Independence Proofs Kenneth KUNEN
Second impression: 1983 Seventh impression: 1999

Introduction
P xv
§ 7. The axioms

P xvi
ZFC is the system of Axioms 0-9.
We list here some abbreviations for commonly used subtheories of ZFC.
ZF consists of Axioms 0-8,

和訳本
アマゾン/dp/4535783829
集合論―独立性証明への案内 (日本語) 単行本 ? 2008/1/1
ケネス キューネン  (著), Kenneth Kunen (原著), 藤田 博司 (翻訳)
カスタマーレビュー
星5つ中の5
ナラバ博士
5つ星のうち5.0 第２章の章末問題はとくに面白い 2009年4月5日
集合論のうち，とくに２０世紀第３四半期における強制法（フォーシング）の研究に焦点をあてた入門書である。
数学科（数理科学コース）の１・２年向けの集合論の授業では，数学全分野のための予備知識として１９世紀後半の集合論を扱うのがふつうであろう。
本書が扱うのはより高度な話題である。原書は研究分野としての集合論への入門書として評価が高い。評者は大学院修士課程１年生のときに原書を通読した。
強制法への伏線として第２章でマーティンの公理を扱っており，この章の章末問題には面白いものが多いと感じた。
時間をかけて翻訳した本書の訳は大変読みやすく，ところどころに親切な訳注が添えられている。
(67人のお客様がこれが役に立ったと考えています)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/314

315: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/05/09(土) 00:28:00 ID:NFbqSkQk

>>313
>まあこれP21やP31できちんと説明してるし、それ以前に自分で書いてるように論文じゃなくて教科書だしな

同意だ
望月論文 IUT IVでは、ちゃんと引用の教科書 [Drk], Chapter 1, §3].
[Drk] F. R. Drake, Set Theory: an Introduction to Large Cardinals, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 76, North-Holland (1974).
これを見ないで、無限だとかアホをいうやつが、バカだってことよ（＾＾

>公理1とかの名付けは数学的言明でもない

それも同意だ
些末な話よ
そこをほじっくって、無限だとかアホをいうやつが、バカだってことよｗ（＾＾；

（>>230-232より 望月 IUT IV）
　”[i.e., the nine axioms of Zermelo-Fraenkel, together with the axiom of choice - cf., e.g., [Drk], Chapter 1, §3].”
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf
INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY IV: ¨
LOG-VOLUME COMPUTATIONS AND
SET-THEORETIC FOUNDATIONS
Shinichi Mochizuki
April 2020
P67
Section 3: Inter-universal Formalism: the Language of Species
In the following discussion, we shall work with various models - consisting
of “sets” and a relation “∈” - of the standard ZFC axioms of axiomatic set theory
[i.e., the nine axioms of Zermelo-Fraenkel, together with the axiom of choice -
cf., e.g., [Drk], Chapter 1, §3].

P85 Bibliography
　[Drk] F. R. Drake, Set Theory: an Introduction to Large Cardinals, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 76, North-Holland (1974).

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/315

320: １３２人目の素数さん [] 2020/05/09(土) 07:01:44 ID:/BYRDNlz

ZFCの話題は、
本スレのInter-universal geometry と ABC予想 52 の324から始まっている。

（前略）
テレンス・タオの言うように燻製ニシンの虚偽なのか分からんが
あと上でもあったけど専門外がIUTなんて理解できないっていうのはまんまIUTのラスト部分に跳ね返ってる
案の定ZFCGがZFCの保存的拡大だのZFCの9個の公理だの間違えまくってるという

しかし、Terence TaoがGoogle+で、ZFCについて述べてた内容を述べてないね。
今はGoogle+ないけど、下記のリンクのSpecific topicsで残っている。

https://asone.ai/polymath/index.php?title=ABC_conjecture

*************************************************
The last part of (IUTT-IV) explores the use of different models of ZFC set theory in order to more fully develop inter-universal Teichmuller theory (this part is not needed for the applications to the abc conjecture).
There appears to be an inaccuracy in a remark in Section 3, page 43 of that paper regarding the conservative nature of the extension of ZFC by the addition of the Grothendieck universe axiom; see this blog comment.
However, this remark was purely for motivational purposes and does not impact the proof of the abc conjecture.
************************************************

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/320

323: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/05/09(土) 07:43:22 ID:NFbqSkQk

>>320
>テレンス・タオの言うように燻製ニシンの虚偽なのか分からんが

ここだけ。知っているだろうがｗ（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%87%BB%E8%A3%BD%E3%83%8B%E3%82%B7%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%99%9A%E5%81%BD
燻製ニシンの虚偽（くんせいニシンのきょぎ）、またはレッド・ヘリング（英語: red herring）は、重要な事柄から受け手（聴き手、読み手、観客）の注意を逸らそうとする修辞上、文学上の技法を指す慣用表現
解説
例えば、ミステリ作品において、犯罪者の正体を探っていく過程では、無実の登場人物に疑いが向かうように偽りの強調をしたり、ミスディレクション（誤った手がかり）を与えたり、「意味深長な」言葉を並べるなど、様々な騙しの仕掛けを用いて、著者は読者の注意を意図的に誘導する。読者の疑いは、誤った方向に導かれ、少なくとも当面の間、真犯人は正体を知られないままでいる
また「false protagonist」（ストーリーの途中まで、主人公とは別の人物をあたかも主人公であるように見せる演出）も、燻製ニシンの虚偽の例である
歴史
red herringの直訳は「赤いニシン」であるが、これは、そのような名の魚種があるわけではなく、濃い味付けのキッパーを意味している
この加工によって、魚には独特の鼻につく臭いがつき、濃い塩水を使うことで魚の身が赤くなる

由来についてはいくつかの異なる説があるが、そのひとつは、鼻を突く臭いを放つ燻製ニシンを引きずって子犬にその臭いを追うように仕込む、というものである[4]。
その後、犬がキツネやアナグマのかすかな臭いを追えるように仕込まれていくと、訓練士は、今度は（その強い臭いで動物の臭いに、動物の臭いを紛れさせるために）燻製ニシンを動物の痕跡とは垂直の方向に引きずり、犬を惑わす
犬は最終的には、強い臭いに惑わされることなく、元々追っている動物の臭いを追跡できるようになる。これとは別の説では、脱獄した囚人が、追跡する犬に臭いの強い魚を投げて気を逸らせようとしたことによるとされる

実際には、このような手法が犬の訓練に用いられることはないし、燻製ニシンが逃亡者に役立つこともない[7]。この慣用表現は、1807年2月14日に、ジャーナリスト ウィリアム・コベット(William Cobbett)が、自ら創設した週刊新聞 Weekly Political Register 紙に発表した記事に由来するものと思われる

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/323

330: IUT応援団　団員 [sage] 2020/05/09(土) 09:03:08 ID:j9hCxaDC

>>324
＞なんか、もうちょっと、実のある議論してほしいよね、本スレでは

でも、それじゃド素人の団長は、全く理解できないですよね？

そういえば、見ましたよ　あのスレ
団長って、昔っから、やらかしてたんですね
その後、ガロア理論は、諦めたんですか？
いいことです　生兵法は大怪我の基、っていいますからねぇ

ーーー
１．正規部分群誤解事件(2014/10　発覚)

自称スレ主ことセタ君は、今はなきガロアスレ10の
232(2014/10/18(土) 20:55:35.05)にて、
S5の部分群C5についてσ-1・C5・σ＝C5と書く

これに対して別人が235(2014/10/18(土) 21:19:57.48)にて
C5は正規部分群ｄなく、σ-1・C5・σとC5は集合としては別と指摘

これに対してセタ君が237(2014/10/18(土) 21:35:09.32)にて
何を同じとするかはコンテキスト依存とかいう
わけのわからない言い訳をしたため、
正規部分群の定義を理解してないことが発覚

別人氏は242(2014/10/18(土) 23:33:11.88)にてこう書いている
「スレ主は分かっていなかった。
　群Ｇの任意の部分群ＨとＧの元σに対してσ-1・Ｈ・σはＨと同型である。
　ＨがＧの正規部分群であるとはσ-1・Ｈ・σがＧの部分集合としてもＨと同じであるということである。
　>>232の書き方では単なる部分群と正規部分群の違いが無視されている。」

セタ君はこの指摘を読んでもまだ自分の誤りを理解せず
翌10/19(日)もグダグダ言い訳したためにスレッドが炎上
やっと291(2014/10/19(日) 12:22:13.92)の説明で理解し
309(2014/10/19(日) 13:25:07.40)にて以下の通りボソッと認めた
「スレ主が勘違いしていた。正規部分群がまだ十分理解できていないってことだね」

この日、ガロアスレは本来のガロア理論のスレッドとしての役割を終えたが
これが変態数学の始まりだったことは、誰も知る由もない・・・

https://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1411454303/

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/330

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