Inter-universal geometry と ABC予想 49

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928: １３２人目の素数さん [sage] 2020/04/14(火) 22:23:40 ID:mIlcNUlX

>>924

これか
ここは、SSの文書が公開された当時にも話題になったかも（＾＾

(C1) : Remark 5, “For fixed ... h(P) ? b.”: I can only say that it is a very challenging task to document the depth of my astonishment when I first read this Remark!
This Remark may be described as a breath-takingly  (melo ?) dramatic self-declaration, on the part of SS, of their profound ignorance of the elementary theory of heights, at the advanced undergraduate/beginning graduate level.
Indeed, the finiteness statement at the beginning of the paragraph follows immediately, by considering the j-invariant (say, multiplied by a suitable positive integer N,
which depends only on d and b) of the elliptic curve under consideration, from the finiteness of the set of complex numbers that satisfy a monic polynomial equation of degree d with coefficients ∈ Z of absolute value ? C, for some fixed real number C that depends only on d and b.
To repeat, this sort of argument lies well within the framework of advanced undergraduate/beginning graduate-level mathematics.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586650355/928

929: １３２人目の素数さん [sage] 2020/04/14(火) 22:24:34 ID:mIlcNUlX

>>928

つづき

It is entirely inconceivable that any researcher with substantial experience working with heights of rational points would attempt to prove this sort of finiteness statement by invoking such a nontrivial result as Faltings’ theorem.
Anyone familiar with the proof of Faltings’ theorem will also recognize immediately that the proof of Faltings’ theorem ultimately reduces to the elementary observation reviewed above, i.e.,
that the finiteness of the set of rational points (of, say, a proper variety) of bounded height over number fields of bounded degree follows immediately from elementary considerations, namely, from the finiteness of the set of solutions of monic polynomial equations of bounded
degree with bounded coefficients ∈ Z.
(Another problem with the argument in Remark 5 is that it is never mentioned why the discriminant of k/Q is bounded.
Such a bound is necessary in order to conclude that the abelian variety A has good reduction outside a fixed finite set of primes that depends only on d and b.)
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586650355/929

942: １３２人目の素数さん [sage] 2020/04/14(火) 23:30:54 ID:mIlcNUlX

>>930 ｗ（＾＾；

ID:TosO5VR6さん
>Remark5の何が間違ってるかわからないorz
>スタンダードなファルティングスの有限性定理そのものだと思うけど
>望月反論ペーパー読んだら納得いきました
>「ごめんなさい。ファルティングスの証明を理解していませんでした」なんて、プライドもあって言えないだろうし

これね（＾＾；
（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Faltings%27s_theorem
Faltings's theorem
(抜粋)
In arithmetic geometry, the Mordell conjecture is the conjecture made by Mordell (1922) that a curve of genus greater than 1 over the field Q of rational numbers has only finitely many rational points. In 1983 it was proved by Gerd Faltings (1983, 1984), and is now known as Faltings's theorem.
The conjecture was later generalized by replacing Q by any number field.

Proofs
Faltings (1983) proved the Shafarevich finiteness conjecture using a known reduction to a case of the Tate conjecture, and a number of tools from algebraic geometry, including the theory of Neron models.
The main idea of Faltings' proof is the comparison of Faltings heights and naive heights via Siegel modular varieties.[1]

Later proofs
A proof based on diophantine approximation was given by Vojta (1991). A more elementary variant of Vojta's proof was given by Bombieri (1990).

Generalizations
Even more general conjectures have been put forth by Paul Vojta.

Footnotes
1^ "Faltings relates the two notions of height by means of the Siegel moduli space.... It is the main idea of the proof." Bloch, Spencer (1984).
https://pdfs.semanticscholar.org/b509/4b4b6f31976173c38813428be512f7d35c9c.pdf
"The Proof of the Mordell Conjecture" (PDF). The Mathematical Intelligencer. 6 (2): 44.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ファルティングスの定理

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586650355/942

964: １３２人目の素数さん [sage] 2020/04/15(水) 07:38:11.75 ID:Rsdt7V/S

>>946
>S・Sはあっさり書いているが、当然望月氏も知っているはずだろうと思って書いていたはず。
>これは“Faltings’ theorem (Shafarevich conjecture) applied to the Weil restriction”した場合の話だよ。
>Finite Weil restriction of curves

レベルが高すぎて、すぐにはついていけないが
その話は、引用文献の下記のことかな？

https://link.springer.com/article/10.1007/s00605-014-0711-6
Open Access
Published: 03 December 2014
Finite Weil restriction of curves
E. V. Flynn & D. Testa
Monatshefte fur Mathematik volume 176, pages197?218(2015)
(抜粋)
Cases where Faltings’ theorem does not apply
In this section we analyze the cases where the relative Weil restriction of a morphism of curves contains a component of geometric genus at most one.
In such cases, Faltings’ theorem cannot be applied to deduce the finiteness of rational points of the relative Weil restriction and we find explicit non-tautological examples in which these sets of rational points are infinite.
The following remark is an immediate consequence of Faltings’ theorem and guides the choice of cases we handle in this section.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586650355/964

983: １３２人目の素数さん [sage] 2020/04/15(水) 12:59:36.46 ID:LTi2Xsr9

>>979-980

１．有限単純群の分類で、2012年 証明支援言語Coqを用いたファイト・トンプソンの定理(1963)の機械的チェックの成功をアナウンスした
　しかし、その他の大部分は 機械的チェックなしなのです

２．1983 ゴーレンシュタインが、分類の証明が完了したとアナウンスした後、実は大穴が明いていることが判明(下記)
　
３．2004 アシュバッハーとスミス（ドイツ語版）が準薄群（すなわち偶数標数の体上の多くともランク2のリー型の群）について彼らの仕事を出版し、この時点で知られている分類の最後のギャップが埋められた

４．2008 原田とソロモンがマシュー群 M22（英語版） をカバーする、標準成分をもつ群についての分類の小さなギャップを埋めた。まあ、小さなピンホールがあったんだねｗ

５．証明支援言語Coqを用いた 機械的チェックは、後追いでしかない
　１）機械にインプットするデータに誤りがあれば、アウトプットは正しくない
　２）証明支援言語Coqが正しいことを、だれがどうやって保証しているのか？

６．ゆえに、証明支援言語Coqを用いた 機械的チェックは、人間の証明の裏付けにすぎない。現状ではね。まずは、人間の証明が先です！

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
有限単純群の分類
(抜粋)
証明の歴史
1963 ファイトとトンプソンがファイト・トンプソンの定理（奇数位数定理）（英語版）を証明した。
1983 ゴーレンシュタインが、分類の証明が完了したとアナウンスした。しかし準薄（英語版）ケースの証明が不完全であったため、これは尚早であった
2004 アシュバッハーとスミス（ドイツ語版）が準薄群（すなわち偶数標数の体上の多くともランク2のリー型の群）について彼らの仕事を出版し、この時点で知られている分類の最後のギャップが埋められた
2008 原田とソロモンがマシュー群 M22（英語版） をカバーする、標準成分をもつ群についての分類の小さなギャップを埋めた。これは M22 のシューア乗数（英語版）についての計算において、誤って証明に欠落が生じていたためである
2012 ジョルジュ・ゴンティエ（英語版）とその共同研究者達が、証明支援言語Coqを用いたファイト・トンプソンの定理の機械的チェックの成功をアナウンスした

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586650355/983

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