[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83 (1002ﾚｽ)
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172(1): 2020/02/11(火)15:32 ID:Ft3PUJtH(4/14) AAS
(>>169の続き)
Case3)：平面 R^2 上の半径1の円周で囲まれた円の外側に有理点 A(x/z,y/z) が存在するとき。
このとき、確かに平面 R^2 上の半径1の円周で囲まれた円の外側に有理点 A(x/z,y/z) は存在し、(x/z)^2+(y/z)^2＞1 を満たす。
よって、x^2＋y^2＞z^2 を得る。故に、平面 R^2 上の半径zの円周で囲まれた円の外側に有理点 B(x,y) は存在する。
3つの正整数x、y、zについて、0＜x＜z かつ 0＜y＜z なることと 0＜x/z＜1 かつ 0＜y/z＜1 こととは同値である。
また、確かに 0＜x＜z かつ 0＜y＜z だから、x^2＋y^2＜4z^2。よって、x^2+y^2＜(2z)^2 から ( x/(2z) )^2＋( y/(2z) )^2＜1 を得る。
zは正整数だから、2zは正整数である。よって、有理点 C(x/(2z),y/(2z)) は平面 R^2 上の半径1の円周で囲まれた円の中に存在する。
省10
180(1): 2020/02/11(火)16:10 ID:Ft3PUJtH(5/14) AAS
>>172の s＞2 はもしかしたら間違いかも知れない。
図を描いて見ないと分からない。
Case3の議論はもっと長くなるかもしれない。
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