[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83 (1002ﾚｽ)
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168(1): 2020/02/11(火)15:27 ID:Ft3PUJtH(2/14) AAS
或る3以上の整数nが存在して、何れも或る3つの正整数 x、y、z が存在して、x^n+y^n＝z^n が成り立つとする。
Euclid 平面 R^2 上の半径1の円周をCで表す。
仮定から、nは3以上の整数だから、仮定で成り立つとした等式 x^n+y^n＝z^n から、
3つの正整数 x、y、z の大小関係について、0＜x＜z、0＜y＜z が両方共に成り立つ。
仮定から x、y、z は何れも有理整数だから、x、y、z∈Z。また、有理数体Qは有理整数環Zの商体だから、Z⊂Q。
よって、z＞0 から、x/z、y/z∈Q。0＜x＜z だから、0＜x/z＜1。同様に、0＜y＜z だから、0＜y/z＜1。
平面 R^2 上で点 A(x/z,y/z) と原点 O(0,0) とを結ぶ線分と、x軸正方向とのなす角をθとする。
省10
169(1): 2020/02/11(火)15:30 ID:Ft3PUJtH(3/14) AAS
(>>168の続き)
Case2)：平面 R^2 上の半径1の円周で囲まれた円の中に有理点 A(x/z,y/z) が存在するとき。
このとき、確かに平面 R^2 上の半径1の円周で囲まれた円の中に有理点 A(x/z,y/z) は存在して、(x/z)^2＋(y/z)^2＜1 を満たす。
3つの正整数x、y、zについて、0＜x＜z かつ 0＜y＜z なることと 0＜x/z＜1 かつ 0＜y/z＜1 こととは同値である。
また、確かに 0＜x/z＜1 かつ 0＜y/z＜1 である。よって、確かに平面 R^2 上の半径zの円周で囲まれた円の中に
有理点 B(x,y) は存在し、x^2+y^2＜z^2 を満たす。0＜x＜z、0＜y＜z から、平面 R^2 上において、
3点 O(0,0)、A(x/z,y/z)、B(x,y) はその順に一直線上に並んでいるから、
省5
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