現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む83

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749: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/17(月) 07:43:25 ID:tibq+GyR

>>746 補足

＜ちょっと思いついたので書いておく＞
さらに、時枝の可算無限数列のシッポの同値類は、それぞれ、共通のシッポを持つことが、コンパクト性定理から言える
証明の筋は、下記の”４色定理と無限地図”に同じ
つまり、同値類内の任意の有限部分を取ると、これらは共通のシッポを持つ（∵推移律）
よって、コンパクト性定理より、1つの同値類全体でも、共通のシッポを持つ
コンパクト性定理は、非可算集合に対しても成立する
QED

（>>262より）
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
ロジックの部屋
坪井明人 筑波大
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
数理論理学ＩＩ
(抜粋)
第 2 章 モデル理論の基礎 21
2.2 コンパクト性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 応用例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.1 ４色定理と無限地図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
定理 53 (コンパクト性定理). T を閉論理式の集合とする．このとき次は同値
である：
1. T はモデルを持つ；
2. T の任意の有限部分集合 T0 はモデルを持つ．
証明. 1 ⇒ 2 は自明である．2 ⇒ 1 の対偶を示す．

2.5 応用例
2.5.1 ４色定理と無限地図
平面内に書かれた有限個の国を持つ地図は，４色を用いて隣国が同じ色にな
らないように塗り分けられる（ Kenneth Appel and Wolfgang Haken）．実は
この４色定理は無限個の国を持つ地図でも成立する．このことはコンパクト性
定理を使うと簡単に分かる．
T がモデルを持つことを示せば十分である．コンパクト性定理により，T の
各有限部分がモデルを持つことを示せばよい．しかし，それは有限地図 (有限
グラフ) に対する４色定理から明らかである．

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86
コンパクト性定理
(抜粋)
歴史
1930年にゲーデルが可算集合の場合について証明した。非可算の場合については、Anatoly Maltsevが1936年に証明を与えた[1][2]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/749

753: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/17(月) 07:53:46 ID:tibq+GyR

>>749 補足

＜これも思いついたので書いておく＞
１．時枝の決定番号を、下記の超自然数の集合 *Nに埋め込む
２．共通のシッポの決定番号は、無限大超自然数 ωになる
　∵ 背理法による。もし、共通のシッポの決定番号が有限ｍとする
　しかし、必ずｍ＋1となる可算無限数列Aが、どの同値類内に存在する
　Aは、同値類内の全ての元と同値（〜）になるので、ｍ＋1になる部分を、共通のシッポに取り直せる
　これは、共通のシッポの決定番号が有限ｍであったことに矛盾する
　この矛盾は、決定番号が有限ｍとしたことに起因する
QED

（>>321より）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H29-isono.pdf
平成29年度(第39回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成29年7月31日〜8月3日開催
超準解析入門
−超実数と無限大の数学−
磯野優介
数学入門公開講座
平成 29 年 7 月 31 日〜8 月 3 日
(抜粋)
P15-16
4 超実数を用いた解析学の展開
4.1 数列の収束
定義 4.1. 超実数 α が超自然数であるとは，自然数からなる数列 (an)n を用いて α = (an)n
と書ける事である．この時もし α が無限大超実数ならば，無限大超自然数という．超自然数
の集合を *N で表す．以後は分かりやすさのため，超自然数は ω, λ 等の記号で表す事が多い．

次の定理は，数列の収束という ε-δ 論法における概念を，超実数のみを用いた条件に言い
換えるものです．
定理 4.7. 実数列 (an)n と実数 a ∈ R に対して，limn→∞ an = a である事の必要十分条件は
どんな無限大超自然数 ω に対しても aω =〜 a となる事である．
注意 4.8. この定理が証明されれば，最初から limn→∞ an = a の定義を，aω =〜 a が全ての
無限大超自然数 ω に対して成立する事としてもよい事になる．これは「数列の ∞ 番目がい
つも同じ数」という意味であり，より直感的な収束の定義である．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/753

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