現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む83

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377: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/13(木) 14:25:43.87 ID:Di2gg/DV

>>376 つづき

さて、上記から見ると、オイラー定数γのうち、後半の -ln(n) 部分は初等関数なので、比較的素性は分かっているとして
調和数 Hn について、初等的かつ簡単な考察をしてみる

１．いま、γが有理数か無理数かの問題なので、Hnの小数部分に注目する
　FR(x)＝x-[x] という関数を考えよう。
　[x]は、いわいる階段関数で、実数ｘに対し、ｘを超えない最大整数とする（ガウス記号）で、x 正として FR(x)＝x-[x] は小数部分を表す
２．FR(Hn)＝Hn-[Hn] は、その式の形から、ｎ有限で有理数であって、分子/分母 の形になることは自明
　分母に着目すると、単純に通分して、1*2*3・・・n となるが、一方 オイラー積を考えると
　近似としては、分母は Πpi とできるだろう（素数の積で、 i＝1〜m ここに、piはn以下の素数の全て)
３．いずれにせよ、nが大きくなると、分母に来る素数piも増えて、FR(Hn)は循環小数として、周期がどんどん長くなる
　n→∞では、周期も無限大になり、無理数になると予想される
　その出自から、有限次数の代数方程式の根なるとも思えないから、おそらくは超越数
４．同様に、後半のFR(ln(n))＝ln(n)-[ln(n)] を考察すると、任意 n>=2で超越数なので（下記 リンデマン）
　n→∞でも、超越数になると予想される
５．そうすると、オイラー定数γは、全く出自の違う ２つの数 FR(Hn)-FR(ln(n)) が
　n→∞で、超越数t1−超越数t2 となると予想される
　直感的に、t1−t2 が有理数となるとすれば、t1とt2との間に、何か特別な関係があるはずと予想される
　逆に、t1とt2との間に、特別な関係がないと予想されるならば、普通は超越数になるだろうと予想される
６．あるHnのn→∞の極限の値が、Riemann Hypothesisと等価だというから、数学的には Hnが 数学的に深い存在でしょう
　ということは、FR(Hn)-FR(ln(n)) が有理数であるという証明は、簡単に済むとは思えないのです（＾＾；
　もし、γが 有理数にしろ、無理数にしろ、はっきりするとすれば、調和数 Hnの深い研究から出てくる気がする
７．なので、γを直接狙わずに、調和数 Hnの方から攻めた方が、
　論文ネタも多くあるだろうし、結果として、遠回りに見えて近道かもしれないと思う今日この頃（＾＾；

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/377

380: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/13(木) 18:02:42.81 ID:Di2gg/DV

>>377 補足

おれだったら、研究するなら、最低でも下記は読み込むけどね
（2013年なので、これでは足りないけどね）
https://arxiv.org/pdf/1303.1856.pdf
EULER’S CONSTANT: EULER’S WORK AND MODERN DEVELOPMENTS
JEFFREY C. LAGARIAS Date: October 10, 2013.
(抜粋)
Abstract. This paper has two parts. The first part surveys Euler’s work on the constant γ = 0.57721... bearing his name, together with some of his related work on the
gamma function, values of the zeta function, and divergent series. The second part
describes various mathematical developments involving Euler’s constant, as well as
another constant, the Euler-Gompertz constant. These developments include connections with arithmetic functions and the Riemann hypothesis, and with sieve methods,
random permutations, and random matrix products. It also includes recent results on
Diophantine approximation and transcendence related to Euler’s constant.
Contents
1. Introduction 2
2. Euler’s work 4
2.1. Background 4
2.2. Harmonic series and Euler’s constant 5
2.3. The gamma function 11
2.4. Zeta values 13
2.5. Summing divergent series: the Euler-Gompertz constant 22
2.6. Euler-Mascheroni constant; Euler’s approach to research 27
3. Mathematical Developments 28
3.1. Euler’s constant and the gamma function 28
3.2. Euler’s constant and the zeta function 32
3.3. Euler’s constant and prime numbers 35
3.4. Euler’s constant and arithmetic functions 36
3.5. Euler’s constant and sieve methods: the Dickman function 39
3.6. Euler’s constant and sieve methods: the Buchstab function 42
3.7. Euler’s constant and the Riemann hypothesis 44
3.8. Generalized Euler constants and the Riemann hypothesis 46
3.9. Euler’s constant and extreme values of ζ(1 + it) and L(1, χ?d) 48
3.10. Euler’s constant and random permutations: cycle structure 51
略
4. Concluding remarks 77

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/380

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