現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む83

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376: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/13(木) 12:11:47 ID:Di2gg/DV

>>324 補足

オイラーの定数の定義式の前半のΣ k=1〜n（1/k）は、いわゆる調和数 Hnであり
これのある予想（下記 Lagariasなど）が、Riemann Hypothesisと等価だという

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E6%95%B0
オイラーの定数
γ：＝ lim n→∞ {（Σ k=1〜n（1/k） -ln(n)}

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Mascheroni_constant
Euler?Mascheroni constant

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E6%95%B0_(%E7%99%BA%E6%95%A3%E5%88%97)
調和数 (発散列)
(抜粋)
数学において、n-番目の調和数（ちょうわすう、英: harmonic number）は 1 から n までの自然数の逆数和
H_n=1+1/2+ 1/3+・・・ + 1/n=Σ k=1〜n (1/k)
である。これは、1 から n までの自然数の調和平均の逆数の n-倍に等しい。
調和数は遥か昔から研究され、数論の各分野において重要である。調和数の極限は、調和級数と呼ばれ（しばしば調和数も含めて一口に調和級数と呼ぶこともある）、リーマンゼータ函数と近しい関係にあり、また種々の特殊函数のさまざまな表示に現れる。

http://mathworld.wolfram.com/RiemannHypothesis.html
Riemann Hypothesis
(抜粋)
By modifying a criterion of Robin (1984), Lagarias (2000) showed that the Riemann hypothesis is equivalent to the statement that
Σ(n)<=H_n+exp(H_n)lnH_n,  (5)
for all n>=1, with equality only for n=1, where H_n is a harmonic number and sigma(n) is the divisor function (Havil 2003, p. 207).
http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/RiemannHypothesisSigma_800.gif
The plots above show these two functions (left plot) and their difference (right plot) for n up to 1000.

http://www.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/elementaryrh.pdf
An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis JC Lagarias  (July 29, 2001 version)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0
リーマンゼータ関数

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/376

377: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/13(木) 14:25:43 ID:Di2gg/DV

>>376 つづき

さて、上記から見ると、オイラー定数γのうち、後半の -ln(n) 部分は初等関数なので、比較的素性は分かっているとして
調和数 Hn について、初等的かつ簡単な考察をしてみる

１．いま、γが有理数か無理数かの問題なので、Hnの小数部分に注目する
　FR(x)＝x-[x] という関数を考えよう。
　[x]は、いわいる階段関数で、実数ｘに対し、ｘを超えない最大整数とする（ガウス記号）で、x 正として FR(x)＝x-[x] は小数部分を表す
２．FR(Hn)＝Hn-[Hn] は、その式の形から、ｎ有限で有理数であって、分子/分母 の形になることは自明
　分母に着目すると、単純に通分して、1*2*3・・・n となるが、一方 オイラー積を考えると
　近似としては、分母は Πpi とできるだろう（素数の積で、 i＝1〜m ここに、piはn以下の素数の全て)
３．いずれにせよ、nが大きくなると、分母に来る素数piも増えて、FR(Hn)は循環小数として、周期がどんどん長くなる
　n→∞では、周期も無限大になり、無理数になると予想される
　その出自から、有限次数の代数方程式の根なるとも思えないから、おそらくは超越数
４．同様に、後半のFR(ln(n))＝ln(n)-[ln(n)] を考察すると、任意 n>=2で超越数なので（下記 リンデマン）
　n→∞でも、超越数になると予想される
５．そうすると、オイラー定数γは、全く出自の違う ２つの数 FR(Hn)-FR(ln(n)) が
　n→∞で、超越数t1−超越数t2 となると予想される
　直感的に、t1−t2 が有理数となるとすれば、t1とt2との間に、何か特別な関係があるはずと予想される
　逆に、t1とt2との間に、特別な関係がないと予想されるならば、普通は超越数になるだろうと予想される
６．あるHnのn→∞の極限の値が、Riemann Hypothesisと等価だというから、数学的には Hnが 数学的に深い存在でしょう
　ということは、FR(Hn)-FR(ln(n)) が有理数であるという証明は、簡単に済むとは思えないのです（＾＾；
　もし、γが 有理数にしろ、無理数にしろ、はっきりするとすれば、調和数 Hnの深い研究から出てくる気がする
７．なので、γを直接狙わずに、調和数 Hnの方から攻めた方が、
　論文ネタも多くあるだろうし、結果として、遠回りに見えて近道かもしれないと思う今日この頃（＾＾；

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/377

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