現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む83

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318: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/12(水) 13:51:10 ID:Qa5sLjJG

>>313
>２つの自然数 a=b
>aとbは同じ数字を違う文字で表記してるんですか？

自然数は大きな問題はないが
実数になると、超越数とかが入ってくる
そうすると、複雑になります。有理数でも小数展開したとき、二通りの表現ができる
例えば、>>303より "1.000・・・＝0.9999・・・"
逃げるわけじゃないが、下記PDFでもどうぞ

（参考）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H29-isono.pdf
平成29年度(第39回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成29年7月31日〜8月3日開催
超準解析入門
−超実数と無限大の数学−
磯野優介
数学入門公開講座
平成 29 年 7 月 31 日〜8 月 3 日
概要
「無限に大きい数」は存在しません．どんな数を持ってきても，それに 1 を足せば，
より大きな数が出来るからです．同様に「無限に小さい数」も存在しません．このよう
な無限数は，数学的に厳密に定義出来ないにもかかわらず，古くから研究に用いられて
きました（いわゆる「無限小解析」）．その後 19 世紀に入り，厳密さを備えた ε-δ 論法
が登場し，無限小解析は歴史から姿を消します．
超準解析とは，「無限に大きい，小さい数」を，数学として厳密に定式化し，取り扱
う学問です．この枠組みでは，無限数を用いた計算や証明が可能で，現代数学を用いた
無限小解析の再現とも言えます．この講義では，そのような無限数を含む「超実数」を
構成し，それを用いて解析学の基礎的な定理を実際に証明してみようと思います．
目 次
1 イントロダクション 2
1.1 記号の復習             3
2 実数 R の構成 4
2.1 ε-δ 論法による収束の定義          . 4
2.2 コーシー列を用いた実数 R の構成         5
3 超実数 *R の構成 8
3.1 基本的な考え方と問題点          . . 9
3.2 フィルターと超フィルター          . 10
3.3 超積を用いた超実数 ?R の構成         . . 12
4 超実数を用いた解析学の展開 15
4.1 数列の収束             15
4.2 連続関数             . . 18
5 超積とフォンノイマン環 21
5.1 関数解析とフォンノイマン環          21
5.2 フォンノイマン環の超積とその応用        . . 23

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/318

321: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/12(水) 16:01:35 ID:Qa5sLjJG

>>318 補足

下記、磯野優介先生
”注意 4.8. この定理が証明されれば，最初から limn→∞ an = a の定義を，aω =〜 a が全ての
無限大超自然数 ω に対して成立する事としてもよい事になる．これは「数列の ∞ 番目がい
つも同じ数」という意味であり，より直感的な収束の定義である．”

なるほど
この超準解析の視点は、時枝記事の戦略のトリックを端的に突いている気がする
つまり、「数列の ∞ 番目が同じ数」というのが、
時枝記事の戦略のトリックを支えるキーだと看破しているような記述だね（＾＾；

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H29-isono.pdf
平成29年度(第39回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成29年7月31日〜8月3日開催
超準解析入門
−超実数と無限大の数学−
磯野優介
数学入門公開講座
平成 29 年 7 月 31 日〜8 月 3 日
(抜粋)
P15-16
4 超実数を用いた解析学の展開
4.1 数列の収束
定義 4.1. 超実数 α が超自然数であるとは，自然数からなる数列 (an)n を用いて α = (an)n
と書ける事である．この時もし α が無限大超実数ならば，無限大超自然数という．超自然数
の集合を *N で表す．以後は分かりやすさのため，超自然数は ω, λ 等の記号で表す事が多い．

次の定理は，数列の収束という ε-δ 論法における概念を，超実数のみを用いた条件に言い
換えるものです．
定理 4.7. 実数列 (an)n と実数 a ∈ R に対して，limn→∞ an = a である事の必要十分条件は
どんな無限大超自然数 ω に対しても aω =〜 a となる事である．
注意 4.8. この定理が証明されれば，最初から limn→∞ an = a の定義を，aω =〜 a が全ての
無限大超自然数 ω に対して成立する事としてもよい事になる．これは「数列の ∞ 番目がい
つも同じ数」という意味であり，より直感的な収束の定義である．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/321

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