[過去ログ]
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83 (1002レス)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/
上
下
前次
1-
新
通常表示
512バイト分割
レス栞
抽出解除
レス栞
このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています。
次スレ検索
歴削→次スレ
栞削→次スレ
過去ログメニュー
リロード規制
です。10分ほどで解除するので、
他のブラウザ
へ避難してください。
260: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2020/02/12(水) 00:00:36 ID:8axgfTbD 【コンパクト性定理】を否定するのは、無理ゲーでしょ(^^; https://fujicategory.hatenadiary.org/entry/20110622/1308701609 数学基礎論の勉強ノート 2011-06-22 1階論理のコンパクト性 fujicategory 第1章 【コンパクト性定理】 1階論理の公理系Tの任意有限部分がモデルを持つならば、Tはモデルを持つ。 ここで出てくる「コンパクト性」は、位相空間での「コンパクト性」と何か関係があるのかなーと思ってググってみたら、やっぱりあった。3.5秒で疑問が解決しました。 http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20051207/1133937746 コンパクト空間と論理/モデル論 檜山正幸のキマイラ飼育記 位相空間がコンパクトであることの定義はいくつかありますけど、そのうちのひとつ: 有限交叉性を持つ任意の閉集合系は、空でない共通部分を持つ。 これが関わってくるんですね。オモシロイナー。 ウルトラフィルターを使えばコンパクト性定理は証明できますが、新井先生の本では命題論理のコンパクト性を通して1階論理のコンパクト性を証明していました。 命題論理で論理式が充足可能であることを、真理値への対応つまり付値によって定義 ↓ 命題論理のコンパクト性: 命題論理の論理式の集合が充足可能 ⇔ Tの任意有限部分が充足可能 ↓ Henkin拡張しちゃって、1階論理の公理系を命題論理の論理式の集合とみなす。ここから1階論理のコンパクト性の証明 命題論理のコンパクト性を証明する時に、任意有限部分が充足可能な論理式の集合で極大なものを考えていくあたりに、ウルトラフィルターの片鱗を感じました。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/260
261: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2020/02/12(水) 00:05:04 ID:8axgfTbD >>260 追加 http://m-hiyama.hatena(URLがNGなので、キーワードでググれ(^^ ) 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) 2005-12-07 コンパクト空間と論理/モデル論 (抜粋) [前置き]だいぶ前に(だいたいは)書いてあったものだけど、今が“あげどき(time to upload)”かな、と思うので、長いけど日記エントリにします。[/前置き] ハウスドルフ空間のコンパクト性は、解析で重要な概念だが、論理や代数幾何でも(解析とはまた違った感じで)コンパクト性は大事。こっち(解析じゃない)方面では、非ハウスドルフなコンパクト空間も出てくる。 [追記 date="12-08"](閉集合の和に関する記述を忘れていたので追加。)[/追記] 内容: モデルの空間 論理式が定義する関数 位相空間としてのモデル空間 補足または蛇足 -- 推論の練習 コンパクト性定理 モデル空間のコンパクト性 コンパクト性定理 モデル論の「コンパクト性定理」とは、論理式の集合Aがモデルを持つかどうかに関する主張である。 Aの任意の有限部分集合がモデルを持つ ⇔ Aがモデルを持つ これは、Aが有限のときは面白くない。論理式の無限集合に対して成立するのがすごいところだ。 論理式の集合が「矛盾する」とはモデルを持たないことだと“定義”すれば、コンパクト性定理は次のことを言っている。 Aが矛盾する ⇔ Aの有限部分集合で矛盾するものがある つまり、矛盾が生じる原因が「公理が無限個だから」ということではなくて、無限のなかの有限個で既に矛盾が生じているのである。矛盾の原因を有限個の論理式として(超越的/原理的には)特定できることになる。 応用としては、例えば、普通の自然数に加えて無限大自然数をたくさん(ものすごくたくさん)入れても、矛盾なく自然数概念が定義できる(モデルが存在する)、とかを示せる。こうしてできるモデルは、超準自然数系だが、実際に構成するにはウルトラフィルター/ウルトラ積を使う。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/261
262: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2020/02/12(水) 00:16:55 ID:8axgfTbD >>260 >【コンパクト性定理】を否定するのは、無理ゲーでしょ(^^; 追加 http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/ ロジックの部屋 坪井明人 筑波大 http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf 数理論理学II 第 2 章 モデル理論の基礎 21 2.1 構造と同型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 コンパクト性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5 応用例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5.1 4色定理と無限地図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5.2 順序集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 定理 53 (コンパクト性定理). T を閉論理式の集合とする.このとき次は同値 である: 1. T はモデルを持つ; 2. T の任意の有限部分集合 T0 はモデルを持つ. 証明. 1 ⇒ 2 は自明である.2 ⇒ 1 の対偶を示す. 2.5 応用例 2.5.1 4色定理と無限地図 平面内に書かれた有限個の国を持つ地図は,4色を用いて隣国が同じ色にな らないように塗り分けられる( Kenneth Appel and Wolfgang Haken).実は この4色定理は無限個の国を持つ地図でも成立する.このことはコンパクト性 定理を使うと簡単に分かる. T がモデルを持つことを示せば十分である.コンパクト性定理により,T の 各有限部分がモデルを持つことを示せばよい.しかし,それは有限地図 (有限 グラフ) に対する4色定理から明らかである. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/262
280: 132人目の素数さん [] 2020/02/12(水) 06:07:57 ID:SjIye1YG >>260-264 瀬田君は、確率における”コンパクト性定理”を証明したのかい? 似非専門家は何も証明できてないよ 0になる無限乗積持ち出した時点で無意味 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/280
メモ帳
(0/65535文字)
上
下
前次
1-
新
書
関
写
板
覧
索
設
栞
歴
スレ情報
赤レス抽出
画像レス抽出
歴の未読スレ
AAサムネイル
Google検索
Wikipedia
ぬこの手
ぬこTOP
0.031s