現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む83

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22: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/09(日) 19:41:48 ID:XY5HcLEF

>>21
つづき
（時枝記事の可算無限数列の数当て定理 不成立。不成立”のエレガントな”回答”（パズル謎解き）を求む）
なお、スレ82 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1580394314/802-803
ジムの数学徒さん（>>6）に倣って、定式化しましょう
＜時枝記事の可算無限数列の数当て定理 ”もどき”＞
命題１．
可算無限数列 s=(s1,s2,・・sd,sd+1・・)に対し *)
ある十分大きな自然数d'｜d＜d' なる数が存在し
sd'+1から後の箱（シッポ）を開けて
未開封の箱sd〜sd'の中の値を、箱を開けずに的中できる

命題２．
命題１のd'+1→d'+1+m （mは1<=m で自然数）とすれば、
sd'+1+mから後の箱（シッポ）を開けて
未開封の箱sd〜sd'+mの中の値を、箱を開けずに的中できる

なお、ここにdは、時枝記事の決定番号である
注*) sd+1で、d+1は下付き添え字で、d+1番目を表わす

証明は、>>778の時枝記事ご参照下さい （＾＾；
反例は、>>523 数学セミナー201511月号P37 時枝記事の
独立な確率変数の無限族
X1，X2，X3，… です

上記の＜数当て定理 ”もどき”＞を、簡単に言えば
ある数d'+1+mより後のシッポの箱の数の情報から
それより、先頭の未開封の箱sd〜sd'+mの中の値を 的中できるというもの

ところが、iid(独立同分布)を仮定して、1つのサイコロの目の数を入れると
1つの的中確率1/6
n個の的中確率1/6^n
的中できる数n=100 なら、的中確率1/6^100≒0

この論法（時枝記事戦略 数当て定理 ”もどき”）のどこが、おかしいでしょうか？
不成立”のエレガントな”回答”（パズル謎解き）を求む
（時枝先生の証明 >>778の どこにギャップがあるのか）

なお、選択公理に附言しておく
上記では、ある可算無限数列 s=(s1,s2,・・sd,sd+1・・)に対し
1つのシッポの同値類と
それに付随する 1つの代表のみがあれば良い

だから、上記の定理 ”もどき”の範囲では、選択公理は必ずしも、必要とされない
選択公理は、お飾りで、いかにも バナッハタルスキーのような パラドックスもどき が起きても不思議ではないという 空気を醸すための小道具ですね（＾＾
あるいは、目くらましで、選択公理に注意をそらすための小道具かもｗ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/22

211: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/11(火) 20:06:12 ID:CB29Ozfy

>>173
>前半、後半はどこで分かるんですか？
>数学では、そういう言い方はしないですよ

そうです
だから結局極限で考えるのが正解です

１．まず、シッポの同値類の前に、逆転の発想で、先頭側の同値類を考えましょう
　ある番号ｎから先頭側、つまり0からnまでの箱の数が一致することをもって同値と考えます
　推移律などの確認は、時枝記事と同じなので、省略します
　結局、この場合、先頭の箱の数が一致すれば、先頭側の同値が成立つ
　列の長さは無関係です
２．そこで、話を戻して、シッポの同値類で、列の長さ有限の 0〜L番の箱で考えます
　そうすると、上記の先頭側の同値類と同じで、最後のL番目の箱で決まる
　上記同様に、列の長さに無関係で、Lの大きさには依存しない。最後の箱で決まる
３．そこで、有限の場合に、決定番号がどうなるかというと、長さ有限の 0〜L番の列で、列の長さはL+1で
　ガウス記号[(L+1)/2]以降の箱を、列の後半と定義し、それ以外を前半として定義します
　そうすると、簡単な考察で、列の長さ 有限の列で、
　代表とのシッポが一致する決定番号dの分布は
　圧倒的に、列の後半に偏ります。極論すれば、最後の箱のみで決まると言って良い。つまりd=Lの場合が多い
４．この状況で、列の長さを無限大 L→∞の極限を考えると
　dは、前半には来ない
　列の長さの後半に集中する
　そして、L→∞の極限では、L=ｎ(有限)は前半に相当します
　これは、「ゼロ確率」です
５．もう少し、上記４を補足します
　問題の可算無限列ｓとその同値類の代表ｒとが、全て一致するとd=1です。でも、それは起こりえない。可算無限列の全ての箱が一致するなんて
　d=2でも同様です。それは起こりえない。2番目以降の可算無限列の全ての箱が一致するなんて
　同様に、d=nでも同様です。それは起こりえない。ｎ番目以降の可算無限列の全ての箱が一致するなんて、起こりえないのです
６．ですから、例えば簡単に２列で考えて、1つの列の決定番号が有限d1、もう一つの列の決定番号が有限d2 で、d1＞d2 だの、あるいは、d1＜d2 だのと論じていることが、
　「ゼロ確率」下での議論にすぎない

これが、時枝記事のトリックで、エレガントかは別として、>>22 や>>33の1つの謎解きです

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/211

259: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/11(火) 23:48:37 ID:CB29Ozfy

>>218
>そして、The Riddleにしろ The Modificationにしろ 時枝記事にしろ
>結局、>>22 (これ>>33と同じ) の １列の場合の
>＜時枝記事の可算無限数列の数当て定理 ”もどき”＞
>が、L→∞の極限で不成立なら、全滅ですね

昔読んだ話が、物理学で若い研究者が研究発表をしたところ、前列に座っていた大物物理学者が
「その式はおかしい」とずばり指摘し、書き間違いがあったという

初めて聞いた発表で、大物物理学者が
間違いを指摘できたのは、極限を考えたからだという

物理学では、例えば量子力学は、プランク定数h→0の極限で、古典力学を再現すべきだとか
あるいは、特殊相対性理論で、v/c＝〜0で、古典力学と一致する（cは光の速度です。c→∞が古典理論だと考えても良い）

極限を考えることは、物理学では結構普通ですが、
数学でも非常に有用です！（＾＾；

https://www.mathsoc.jp/outreach/2019haru/kato20190317.pdf
力学の変遷 ー古典・量子・弦ー
加藤晃史 (東京大学 数理科学研究科)
日本数学会 市民講演会 於東京工業大学
2019 年 3 月 17 日
(抜粋)
P66
対応原理
Niels Bohr が提唱した一つの指導原理：
プランク定数 h を 0 にする極限で、 量子力学は古典力学を再現
する。
lim h→0 ( 量子論的な量 ) = ( 古典論での量 )
いいかえると、
h をパラメータとして古典力学を
変形した理論が量子力学である

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96
特殊相対性理論
(抜粋)
ガリレイの相対性原理と特殊相対性原理
ローレンツ変換の式(L4)式において、v/c＝〜0 とすると、(L4)式は
ガリレイ変換に一致する。
すなわち、このことからニュートン力学近似とは、慣性座標系間の相対速度 v が光速 c と比べて十分小さい場合の理論であると言うことがいえる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/259

291: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/12(水) 08:04:40 ID:8axgfTbD

>>32
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時枝さん、あの記事で４つくらい外している
1つは、確率変数の無限族の独立性
スレ20 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/538
”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ

も1つは、非可測の話
時枝さん、ヴィタリの話をしているが
本当は、ジムの数学徒氏（>>6）が言った下記なんだ
スレ80 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/271
”確率論の公理の要請に反してしまう”ってこと

さらに、時枝氏自身が、あの記事の前半の戦略が不成立であることを
しっかりと認識しないで、
そこをぼかして書いたこと

あと、追加で>>22 >>211 に書いているが、下記の＜時枝記事の可算無限数列の数当て定理 ”もどき”＞不成立
スレ80 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/51
時枝問題（数学セミナー201511月号の記事
(引用開始)
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
任意の実数列s に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
つまりsd，sd+1，sd+2,・・・を知ればsの類の代表r は決められる.
更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても，あるD>=d についてsD+1， sD+2，sD+3，・・・
が知らされたとするならば，それだけの情報で既に r = r(s)は取り出せ， したがってd= d(s)も決まり，
結局sd (実はsd，sd+1，・・・，sD ごっそり)が決められることに注意しよう.
(補足)
sD+1， sD+2，sD+3，・・・：ここでD+1などは下付添え字
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/291

574: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/15(土) 22:22:53 ID:tI+VIYb9

>>498
>>いや、game1で、独立同分布の確率変数で、反例出せば良い
>では出して下さい

１．Sergiu Hart氏自身が、有限の場合に、game1,game2とも、iid(独立同分布)で戦略不成立（つまり、確率論の結論通り）を、Remarkとしてきっちり書いている
２．game1 選択公理使用, game2 選択公理不使用（A similar result, but now without using the Axiom of Choice ）
　だから、Sergiu Hart氏の戦略の成立不成立と、選択公理使用不使用とは、無関係
３．結局、選択公理は、いかにもバナッハ＝タルスキー類似みたいに見せるお飾りにすぎない（>>22）
４．だから、Hart氏の戦略の不成立としても、選択公理の否定にはならない

追記
１．なお、良く知られた事実だが、選択公理以外に、決定性公理 ADがある。決定性公理 ADから、可算選択公理が従う
２．同値類の族から代表を選ぶとき、必須の代表は、実際に使われる有限の代表に過ぎないから、決定性公理 ADの代用で、Sergiu Hart氏の戦略は実行可能
　なお、決定性公理 ADでは、”実数の任意の部分集合について「ルベーグ可測である」”ので、非可測集合はないといこと

（参考）
http://www.ma.huji.ac.il/hart/index.html#puzzle
Sergiu Hart
Some nice puzzles:
100 Cards
Choice Games　← これが問題のPDF http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.html
(引用開始)
P2
Remark. When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win
with probability 1 in game1, and with probability 9/10 in game2, by choosing
the xi independently and uniformly on [0, 1] and {0, 1,..., 9}, respectively.
(引用終り)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%BA%E5%AE%9A%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
(抜粋)
決定性公理を仮定すると、実数の任意の部分集合について「ルベーグ可測である」

https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/29/1/29_1_53/_pdf
決定性公理に関する最近までの諸結果について −無限ゲームの理論− 法政大学 田中尚夫 数学1977
(抜粋)
AD(決定性公理)から選択公理は否定されたが,次に述べる
弱い形の選択公理がADから導かれる
WAC(A):Aの空でない部分集合達の可算族は選択関数をもつ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/574

605: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/16(日) 10:17:36 ID:3HCL8TTE

>>587 補足２
> さて、Hart氏のRemarkが、反例になっていることの説明下記
> １．有理数は、後半の無限の循環節（以下循環節と略す）と前半の有限の非循環節（以下非循環節と略す）に分けられる
>　（有限小数は、循環節が全て0と考える）

１．game2の場合は、区間 [0, 1]の10進の有理数を使う（>>586）
２．数当ては、当てようとするxiを、循環節内に入るように、iを十分に大きく取れば良い。
　循環節内に、iが入れば、数当て成功
　非循環節内なら、数当て不成功（というか、iid(独立同分布)の確率論通り）
３．別の見方をすると、
　Player 1（出題者）が、長い有限小数をランダム数列を利用して作り、後ろに任意の循環小数のシッポを付ければ、同じことになる
　Player 2（回答者）は、出題者が考えた長さよりも大きな数 "i"を、選べば、勝てることになる
　これは、故事の矛盾（ホコとタテ）に似ている
４．game1でも似た話で、xiの "i"を、問題の列の決定番号dより大きく選ぶことができれば、勝てるという話で、本当にそれが可能かどうか？
　それが、>>22 >>211の＜時枝記事の可算無限数列の数当て定理 ”もどき”＞不成立の話です（それは不可能）

（参考）
http://www7a.biglobe.ne.jp/~gakusyuu/koziseigo/muzyun.htm
知識の泉
【故事成語（こじせいご）】
矛盾
【由　来】
楚（そ）の国に矛（ほこ）と盾（たて）を売り歩く者がいた。その者が
自分の矛（ほこ）と盾（たて）とをほめて、「私の矛（ほこ）はどんな
固い盾（たて）でも突き通す。」「私の盾（たて）は、堅固でどんな矛
（ほこ）でも突き通せない」といって自慢（じまん）した。そこで、ある
人が、「おまえの矛（ほこ）でおまえの盾（たて）を突いたらどうなる
のか。」とたずねた。すると、この売り手は答えられなかったという
ことから、この語ができた。
（韓非子 かんぴし）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/605

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