[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83 (1002ﾚｽ)
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40(3): 2020/02/10(月)17:09 ID:cxexSbfY(1/4) AAS
或る3以上の整数nが存在して、何れも或る3つの正整数 x、y、z が存在して、x^n+y^n＝z^n が成り立つとする。
Euclid 平面 R^2 上の半径1の円周をCで表す。
仮定から、nは3以上の整数だから、仮定で成り立つとした等式 x^n+y^n＝z^n から、
3つの正整数 x、y、z の大小関係について、0＜x＜z、0＜y＜z が両方共に成り立つ。
仮定から x、y、z は何れも有理整数だから、x、y、z∈Z。また、有理数体Qは有理整数環Zの商体だから、Z⊂Q。
よって、z＞0 から、x/z、y/z∈Q。0＜x＜z だから、0＜x/z＜1。同様に、0＜y＜z だから、0＜y/z＜1。
平面 R^2 上で点 A(x/z,y/z) と原点 O(0,0) とを結ぶ線分と、x軸正方向とのなす角をθとする。
省3
41(1): 2020/02/10(月)17:11 ID:cxexSbfY(2/4) AAS
(>>40の続き)
このことに注意して、有理点 A(x/z,y/z) が存在する位置について場合分けをする。
Case1)：平面 R^2 上の半径1の円周上に有理点 A(x/z,y/z) は存在するとき。
0＜x/z＜1、0＜y/z＜1 から、確かに平面 R^2 上の半径1の円周上に有理点 A(x/z,y/z) は存在し、(x/z)^2+(y/z)^2＝1 を満たすことになる。
θの定義と 0＜θ＜π/2、0＜x/z＜1 から、cos(θ)＝x/z。同様に、θの定義と 0＜θ＜π/2、0＜y/z＜1 から、sin(θ)＝y/z。
仮定において成り立つとした等式 x^n+y^n＝z^n から、(x/z)^n+(y/z)^n＝1。よって、cos^n(θ)＋sin^n(θ)＝1 となる。
しかし、仮定から n≧3 であり、0＜θ＜π/2 から 0＜cos(θ)＝x/z＜1、0＜sin(θ)＝y/z＜1 だから、
省11
42(1): 2020/02/10(月)17:16 ID:cxexSbfY(3/4) AAS
おっちゃんでした。
今回はとても単純に考えた。
以前抱いた妄想のような代物はウソではなかったかも知れない。
43(1): 2020/02/10(月)17:18 ID:cxexSbfY(4/4) AAS
それじゃ、おっちゃんもう寝る。
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