現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む83

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869: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/19(水) 07:51:22.88 ID:WuOFpvsc

メモ

ラングランズを辿ると、Higgs先生（ノーベル物理学賞）へ辿り着く（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B4%E3%83%BB%E3%83%90%E3%82%AA%E3%83%BB%E3%83%81%E3%83%A3%E3%82%A6
ゴ・バオ・チャウ（ベトナム語: Ngo B?o Chau / ?寶珠[?o ?a???? c???] 、1972年6月28日 - ）、ベトナムの数学者。現在はフランスとベトナム国籍を持っている。2010年にベトナム人としてはじめてフィールズ賞を受賞した。
中でも2008年にラングランズ・プログラムの基本補題の証明に成功したことはよく知られている。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%BA%E3%83%BB%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%A0
ラングランズ・プログラム
基本補題
詳細は「ラングランズプログラムの基本補題（英語版） 」を参照

https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_lemma_(Langlands_program)
Laumon and Ngo (2008) then proved the fundamental lemma for unitary groups, using Hitchin fibration introduced by Ngo (2006)

https://en.wikipedia.org/wiki/Hitchin_system
Hitchin system

called a Hitchin pair or Higgs bundle, defines a point in the cotangent bundle.

https://en.wikipedia.org/wiki/Higgs_bundle
In mathematics, a Higgs bundle is a pair (E,φ) consisting of a holomorphic vector bundle E and a Higgs field φ, a holomorphic 1-form taking values in End(E) such that φ ∧ φ = 0. Such pairs were introduced by Hitchin (1987), who named the field φ after Peter Higgs because of an analogy with Higgs bosons.

https://en.wikipedia.org/wiki/Peter_Higgs
Peter Ware Higgs CH FRS FRSE FInstP (born 29 May 1929) is a British theoretical physicist, Emeritus Professor in the University of Edinburgh[5][6] and Nobel Prize laureate for his work on the mass of subatomic particles.[7](2014)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/869

876: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/19(水) 10:31:46.30 ID:TtPt7jCK

>>875
>なぜなら時枝問題の設定はR^NであってR^(N∪{∞})ではありませんので。

そんなことはない
数学は、もっと広く自由だよ
無限大超自然数 ω を考えて、見通しをつけて
それから、自然数の集合Nに戻れば良い
ε-δ 論法の収束とか極限で考えれば良いだけのこと

つまり、時枝記事の可算無限数列のシッポは、結局は極限ということだよ
無限大超自然数 ωを考えれば、それがはっきり見えるってことよ
数学の常套手段さ
リーマンが、複素平面を∞を追加して、リーマン球面を考えた如しだ

（>>321より）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H29-isono.pdf
平成29年度(第39回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成29年7月31日〜8月3日開催
超準解析入門
−超実数と無限大の数学−
磯野優介
数学入門公開講座
平成 29 年 7 月 31 日〜8 月 3 日
(抜粋)
P15-16
4 超実数を用いた解析学の展開
4.1 数列の収束
定義 4.1. 超実数 α が超自然数であるとは，自然数からなる数列 (an)n を用いて α = (an)n
と書ける事である．この時もし α が無限大超実数ならば，無限大超自然数という．超自然数
の集合を *N で表す．以後は分かりやすさのため，超自然数は ω, λ 等の記号で表す事が多い．

次の定理は，数列の収束という ε-δ 論法における概念を，超実数のみを用いた条件に言い
換えるものです．
定理 4.7. 実数列 (an)n と実数 a ∈ R に対して，limn→∞ an = a である事の必要十分条件は
どんな無限大超自然数 ω に対しても aω =〜 a となる事である．
注意 4.8. この定理が証明されれば，最初から limn→∞ an = a の定義を，aω =〜 a が全ての
無限大超自然数 ω に対して成立する事としてもよい事になる．これは「数列の ∞ 番目がい
つも同じ数」という意味であり，より直感的な収束の定義である．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/876

877: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/19(水) 11:14:51.14 ID:TtPt7jCK

>>876 補足

分かり易く例えで説明する
・ランダムを直感的に考えて、決定番号ｄが属する自然数の集合Nから、ランダムに任意の元dを選ぶことを考えよう
・さて、我々が日常生活し考えている100兆くらいの数は、自然数N全体のほんの一部にすぎない
　いわゆる天文学的に大きな数も また同じで、所詮有限にすぎない
・コンピュータ内で数を扱うとして、まともに固定小数点の数として扱えば、桁あふれを起こして、コンピュータメモリ内に収まらない
　天文学では、指数を使ったりするけれども、>>876のように極限を考えると、それでも 極限の途中で、指数でさえ コンピュータメモリ内に収まらない
・それが、>>876のように、無限大超自然数 ω を考えれば、はっきり見えるってわけです
・戻ると、”自然数の集合Nから、ランダムに任意の元dを選ぶ”という ランダムネスの定義が、本当は出来ずに、手品のタネになっている
・つまり、ある可算無限数列X＝（x1,x2,・・・）に対して、問題の数列Xを知らずに、同値類の代表r＝(r1,r2,・・・)を選び、決定番号dが決まる
　決定番号dが、如何にも我々の知っている有限の数の範囲になるが如くの錯覚をさせている（本当はここ極限です）
　それが、手品のタネになっている
　有限の世界なら、d1とd2の大小比較も明確だ
・しかし、無限大の世界では、d1とd2の大小比較は簡単に言えない
・それを、DR Pruss氏は、mathoverflowで述べているのです

（参考）
https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice Denis氏 Dec 9 '13
DR Pruss氏

By a conglomerability assumption, we could then conclude that P(X<=Y)=0, which would be absurd as the same reasoning would also show that P(Y<=X)=0.

http://www.mdpi.com/2073-8994/3/3/636
Symmetry and the Brown-Freiling Refutation of the Continuum Hypothesis
by Paul Bartha
Symmetry 2011, 3(3), 636-652;

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/877

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