現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む83

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574: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/15(土) 22:22:53.04 ID:tI+VIYb9

>>498
>>いや、game1で、独立同分布の確率変数で、反例出せば良い
>では出して下さい

１．Sergiu Hart氏自身が、有限の場合に、game1,game2とも、iid(独立同分布)で戦略不成立（つまり、確率論の結論通り）を、Remarkとしてきっちり書いている
２．game1 選択公理使用, game2 選択公理不使用（A similar result, but now without using the Axiom of Choice ）
　だから、Sergiu Hart氏の戦略の成立不成立と、選択公理使用不使用とは、無関係
３．結局、選択公理は、いかにもバナッハ＝タルスキー類似みたいに見せるお飾りにすぎない（>>22）
４．だから、Hart氏の戦略の不成立としても、選択公理の否定にはならない

追記
１．なお、良く知られた事実だが、選択公理以外に、決定性公理 ADがある。決定性公理 ADから、可算選択公理が従う
２．同値類の族から代表を選ぶとき、必須の代表は、実際に使われる有限の代表に過ぎないから、決定性公理 ADの代用で、Sergiu Hart氏の戦略は実行可能
　なお、決定性公理 ADでは、”実数の任意の部分集合について「ルベーグ可測である」”ので、非可測集合はないといこと

（参考）
http://www.ma.huji.ac.il/hart/index.html#puzzle
Sergiu Hart
Some nice puzzles:
100 Cards
Choice Games　← これが問題のPDF http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.html
(引用開始)
P2
Remark. When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win
with probability 1 in game1, and with probability 9/10 in game2, by choosing
the xi independently and uniformly on [0, 1] and {0, 1,..., 9}, respectively.
(引用終り)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%BA%E5%AE%9A%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
(抜粋)
決定性公理を仮定すると、実数の任意の部分集合について「ルベーグ可測である」

https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/29/1/29_1_53/_pdf
決定性公理に関する最近までの諸結果について −無限ゲームの理論− 法政大学 田中尚夫 数学1977
(抜粋)
AD(決定性公理)から選択公理は否定されたが,次に述べる
弱い形の選択公理がADから導かれる
WAC(A):Aの空でない部分集合達の可算族は選択関数をもつ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/574

583: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/15(土) 23:12:20.49 ID:tI+VIYb9

メモ
これ（下記）の付録が分り易い
連続体仮説の解説がいいね

https://tokyo-metro-u.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main&active_action=repository_view_main_item_snippet&all=%E6%B1%BA%E5%AE%9A%E6%80%A7%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%82%BA%E3%83%A0&count=20&order=0&pn=1&st=1&page_id=30&block_id=164
PDF https://tokyo-metro-u.repo.nii.ac.jp/?action=repository_uri&item_id=2124&file_id=18&file_no=1
完全二分AND-OR 木に対する最適乱択アルゴリズムの特徴づけと木転置グラフの構造について
アイテムタイプ 学位論文 / Thesis or Dissertation
言語 日本語
著者 小川 孝典
著者(ヨミ) オガワ コウスケ
著者別名 Ogawa Kousuke
抄録 計算複雑さの理論の一分野として, AND-OR 木の研究がある.
我々は, randomized complexity を達成する乱択アルゴリズムを最適乱択アルゴ
リズムとよび, i-セット(i 2 f0; 1g) に対してコスト期待値が一定の乱択アルゴリズ
ムをEi-乱択アルゴリズムと定義する. 本論文では, 連結閉集合上の乱択アルゴリズ
ムについて, i-セットに対して最適であることとEi であることが同値であることを
証明する. これは, 鈴木-中村[SuNa] の結果の双対的な結果とみなすことができる.
また, 真理値割り当てからなる集合にグラフの構造を入れ、木の高さに関する構造
定理を示す.
付録として, 無限組み合わせ論におけるdiamond principle に関連したhitting
principle についての考察を加える. hitting principle をP へ持ち上げ, P に
おけるdiamond principle との関連づけを与える.
内容記述 首都大学東京, 2013-03-25, 修士（理学）
ページ 1 - 50
発行年 2013-03-25

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/583

586: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/16(日) 00:07:02.03 ID:3HCL8TTE

>>580
＞だいたい有理数の循環節が独立同分布のはずがないでしょ

有理数を使うgame2 について解説しておくと
http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf?
Choice Games November 4, 2013 Written by Sergiu Hart
(抜粋)
A similar result, but now without using the Axiom of Choice.
Consider the following two-person game game2:
・ Player 1 chooses a rational number in the interval [0, 1] and writes down
　its infinite decimal expansion 0.x1x2...xn..., with all xn ∈ {0, 1,..., 9}.
・ Player 2 asks (in some order) what are the digits xn except one, say xi ;
　then he writes down a digit ξ ∈ {0, 1,..., 9}.
・ If xi = ξ then Player 2 wins, and if xi ≠ ξ then Player 1 wins.
By choosing i arbitrarily and ξ uniformly in {0, 1,..., 9}, Player 2 can guarantee a win with probability 1/10.
However, we have:
Theorem 2 For every ε > 0 Player 2 has a mixed strategy in game2 guaranteeing him a win with probability at least 1 − ε.
Proof. The proof is the same as for Theorem 1, except that here we do not use the Axiom of Choice.
Because there are only countably many sequences
x ∈ {0,..., 9}^N that Player 1 may choose (namely, those x that become eventually
periodic), we can order them-say x
(1), x(2),..., x(m)
,...-and then choose in each equivalence class the element with minimal index (thus F(x) = x(m) iff m
is the minimal natural number such that x 〜 x (m)).
(引用終り)

つまり、game2は
１．Player 1は、区間  [0, 1]の10進の有理数を1つ選ぶ
２．Player 2は、10進の有理数各桁の数字1つ（xi）を除いて、見て良い
３．xi は、普通は的中率 probability 1/10だが、Game1と同じ戦略で、”1 − ε”にできるという

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/586

605: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/16(日) 10:17:36.60 ID:3HCL8TTE

>>587 補足２
> さて、Hart氏のRemarkが、反例になっていることの説明下記
> １．有理数は、後半の無限の循環節（以下循環節と略す）と前半の有限の非循環節（以下非循環節と略す）に分けられる
>　（有限小数は、循環節が全て0と考える）

１．game2の場合は、区間 [0, 1]の10進の有理数を使う（>>586）
２．数当ては、当てようとするxiを、循環節内に入るように、iを十分に大きく取れば良い。
　循環節内に、iが入れば、数当て成功
　非循環節内なら、数当て不成功（というか、iid(独立同分布)の確率論通り）
３．別の見方をすると、
　Player 1（出題者）が、長い有限小数をランダム数列を利用して作り、後ろに任意の循環小数のシッポを付ければ、同じことになる
　Player 2（回答者）は、出題者が考えた長さよりも大きな数 "i"を、選べば、勝てることになる
　これは、故事の矛盾（ホコとタテ）に似ている
４．game1でも似た話で、xiの "i"を、問題の列の決定番号dより大きく選ぶことができれば、勝てるという話で、本当にそれが可能かどうか？
　それが、>>22 >>211の＜時枝記事の可算無限数列の数当て定理 ”もどき”＞不成立の話です（それは不可能）

（参考）
http://www7a.biglobe.ne.jp/~gakusyuu/koziseigo/muzyun.htm
知識の泉
【故事成語（こじせいご）】
矛盾
【由　来】
楚（そ）の国に矛（ほこ）と盾（たて）を売り歩く者がいた。その者が
自分の矛（ほこ）と盾（たて）とをほめて、「私の矛（ほこ）はどんな
固い盾（たて）でも突き通す。」「私の盾（たて）は、堅固でどんな矛
（ほこ）でも突き通せない」といって自慢（じまん）した。そこで、ある
人が、「おまえの矛（ほこ）でおまえの盾（たて）を突いたらどうなる
のか。」とたずねた。すると、この売り手は答えられなかったという
ことから、この語ができた。
（韓非子 かんぴし）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/605

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