現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む83

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318: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/12(水) 13:51:10.81 ID:Qa5sLjJG

>>313
>２つの自然数 a=b
>aとbは同じ数字を違う文字で表記してるんですか？

自然数は大きな問題はないが
実数になると、超越数とかが入ってくる
そうすると、複雑になります。有理数でも小数展開したとき、二通りの表現ができる
例えば、>>303より "1.000・・・＝0.9999・・・"
逃げるわけじゃないが、下記PDFでもどうぞ

（参考）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H29-isono.pdf
平成29年度(第39回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成29年7月31日〜8月3日開催
超準解析入門
−超実数と無限大の数学−
磯野優介
数学入門公開講座
平成 29 年 7 月 31 日〜8 月 3 日
概要
「無限に大きい数」は存在しません．どんな数を持ってきても，それに 1 を足せば，
より大きな数が出来るからです．同様に「無限に小さい数」も存在しません．このよう
な無限数は，数学的に厳密に定義出来ないにもかかわらず，古くから研究に用いられて
きました（いわゆる「無限小解析」）．その後 19 世紀に入り，厳密さを備えた ε-δ 論法
が登場し，無限小解析は歴史から姿を消します．
超準解析とは，「無限に大きい，小さい数」を，数学として厳密に定式化し，取り扱
う学問です．この枠組みでは，無限数を用いた計算や証明が可能で，現代数学を用いた
無限小解析の再現とも言えます．この講義では，そのような無限数を含む「超実数」を
構成し，それを用いて解析学の基礎的な定理を実際に証明してみようと思います．
目 次
1 イントロダクション 2
1.1 記号の復習             3
2 実数 R の構成 4
2.1 ε-δ 論法による収束の定義          . 4
2.2 コーシー列を用いた実数 R の構成         5
3 超実数 *R の構成 8
3.1 基本的な考え方と問題点          . . 9
3.2 フィルターと超フィルター          . 10
3.3 超積を用いた超実数 ?R の構成         . . 12
4 超実数を用いた解析学の展開 15
4.1 数列の収束             15
4.2 連続関数             . . 18
5 超積とフォンノイマン環 21
5.1 関数解析とフォンノイマン環          21
5.2 フォンノイマン環の超積とその応用        . . 23

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/318

321: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/12(水) 16:01:35.27 ID:Qa5sLjJG

>>318 補足

下記、磯野優介先生
”注意 4.8. この定理が証明されれば，最初から limn→∞ an = a の定義を，aω =〜 a が全ての
無限大超自然数 ω に対して成立する事としてもよい事になる．これは「数列の ∞ 番目がい
つも同じ数」という意味であり，より直感的な収束の定義である．”

なるほど
この超準解析の視点は、時枝記事の戦略のトリックを端的に突いている気がする
つまり、「数列の ∞ 番目が同じ数」というのが、
時枝記事の戦略のトリックを支えるキーだと看破しているような記述だね（＾＾；

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H29-isono.pdf
平成29年度(第39回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成29年7月31日〜8月3日開催
超準解析入門
−超実数と無限大の数学−
磯野優介
数学入門公開講座
平成 29 年 7 月 31 日〜8 月 3 日
(抜粋)
P15-16
4 超実数を用いた解析学の展開
4.1 数列の収束
定義 4.1. 超実数 α が超自然数であるとは，自然数からなる数列 (an)n を用いて α = (an)n
と書ける事である．この時もし α が無限大超実数ならば，無限大超自然数という．超自然数
の集合を *N で表す．以後は分かりやすさのため，超自然数は ω, λ 等の記号で表す事が多い．

次の定理は，数列の収束という ε-δ 論法における概念を，超実数のみを用いた条件に言い
換えるものです．
定理 4.7. 実数列 (an)n と実数 a ∈ R に対して，limn→∞ an = a である事の必要十分条件は
どんな無限大超自然数 ω に対しても aω =〜 a となる事である．
注意 4.8. この定理が証明されれば，最初から limn→∞ an = a の定義を，aω =〜 a が全ての
無限大超自然数 ω に対して成立する事としてもよい事になる．これは「数列の ∞ 番目がい
つも同じ数」という意味であり，より直感的な収束の定義である．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/321

347: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/12(水) 20:48:19.19 ID:8axgfTbD

>>346
つづき
（参考）
スレ80 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/51
時枝問題（数学セミナー201511月号の記事
＜時枝記事の可算無限数列の数当て定理 ”もどき”＞
(引用開始)
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
任意の実数列s に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
何らかの事情によりdが知らされていなくても，あるD>=d についてsD+1， sD+2，sD+3，・・・
が知らされたとするならば，それだけの情報で既に r = r(s)は取り出せ， したがってd= d(s)も決まり，
結局sd (実はsd，sd+1，・・・，sD ごっそり)が決められる
(引用終り)
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H29-isono.pdf
平成29年度(第39回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成29年7月31日〜8月3日
超準解析入門 −超実数と無限大の数学− 磯野優介 数学入門公開講座
(抜粋)
P15-16
定理 4.7. 実数列 (an)n と実数 a ∈ R に対して，limn→∞ an = a である事の必要十分条件は
どんな無限大超自然数 ω に対しても aω =〜 a となる事である．
注意 4.8. この定理が証明されれば，最初から limn→∞ an = a の定義を，aω =〜 a が全ての
無限大超自然数 ω に対して成立する事としてもよい事になる．これは「数列の ∞ 番目がい
つも同じ数」という意味であり，より直感的な収束の定義である．
(引用終り)

4つには、時枝氏自身が、あの記事の前半の戦略が不成立であることを
しっかりと認識しないで、
そこをぼかして書いてしまったこと

以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/347

366: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/12(水) 21:33:58.93 ID:8axgfTbD

メモ
https://www.nikkei.com/article/DGXMZO54592280Q0A120C2000000/
テスラ分解　EVの「頭脳」、トヨタやVWを6年先行 2020/2/12 日経
(抜粋)
米テスラの技術力はどれほどのものか――。実力を確かめるため、日経BPのプロジェクトチームはテスラ初の本格量産車「モデル3」を購入して分解した。内部から飛び出した最大の驚きは、自動運転だけでなく車両全体を制御する統合ECU（電子制御ユニット）だ。3キログラムに満たない「頭脳」はテスラの強さの源泉となると同時に、自動車部品のサプライチェーン（供給網）をがらりと変える影響力を持つ。

「うちの会社にはできない」。ある国内自動車メーカーの技術者が、テスラの車載コンピューターを見て白旗を揚げた。

テスラは量産中の電気自動車（EV）である「モデル3」や「モデルS」などに、「HW3.0」と呼ぶ車載コンピューターを搭載する。内蔵する半導体を自社開発し、自動運転とインフォテイメントなどの機能を統合制御するECUの役割を一任した。

モデル3が搭載する統合ECU「HW3.0」。2枚の基板を搭載する。1枚は独自開発した人工知能（AI）チップを実装する自動運転用で、もう1枚はインフォテイメントシステムなどを制御するMCU（メディア・コントロール・ユニット）。基板間に水冷ヒートシンクを配置した（撮影:日経Automotive）

車載電子プラットフォーム（基盤）の中核に高性能なコンピューターを据えるアーキテクチャーは「中央集中型」と呼ばれる。自動車業界の関係者は異口同音に「実用化は2025年以降」と説明してきた。

一方のテスラがHW3.0を導入したのは19年春。他社を6年以上も先行したことになる。テスラは自動運転システムの進化に合わせて車載電子基盤を刷新。14年9月に第1世代を投入して以降は、2〜3年という極めて短いサイクルで開発を進めている。

テスラは2〜3年ごとに自動運転システムを強化している（図:日経Automotiveが作成）

圧倒的なスピードで構築したテスラの中央集中型の車載電子基盤は、他の自動車メーカーのみならず、業界全体にとっての脅威になる。長い歳月をかけて積み上げてきた既存の部品サプライチェーンを崩壊させる可能性を秘めるからだ。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/366

374: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/13(木) 08:03:04.25 ID:r2opBcOW

>>110 戻る

下記、「この研究所の望月新一さんもこの予想に取り組んでいます」か
平成19年は、2007年ですね。当時から、望月新一さんがABC予想に取り組んでいることは、知られていたのか（＾＾；
いや、Frey 曲線と abc 予想の結びつきが面白いと思ったんだ
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/yasuda.pdf
平成19年度(第29回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成19年7月30日〜8月2日開催)
R = T 定理の仕組みとその応用
安田 正大
(抜粋)
Fermat 予想の反例と Frey 曲線とを結びつける発想を一般化して, 0 でない 3 整数 a, b, c に関する等式
a + b = c と, 楕円曲線 y^2 = x(x ? a)(x + b) とを結びつけて考えることもできます, このとき Szpiro 予想
が何を意味するのかを考えることによって, Masser と Oesterl´e は abc 予想と呼ばれる次の予想に到達しま
した3
予想 1.2. 任意の実数 ε > 0 に対して実数 C(ε) > 0 が存在して次を満たす: 正の整数 a, b, c が a + b = c
を満たし, さらに a と b の最大公約数が 1 であるとき, a, b, c のいずれかを割り切る素数の積を N とす
ると, 不等式
(1.3) c < C(ε)N^(1+ε)
が成立する.
この予想が正しいとすると Fermat 予想が十分大きな n について正しいことがわかります. この abc 予
想には, 不等式 (1.3) にいくつかのバリエーションがあり, もっと精密な評価を与えるものもあります.
この研究所の望月新一さんもこの予想に取り組んでいます.

注
3：予想 1.2 の主張中の N^(1+ε） を N^(6/5+ε) に弱めたものが, y^2 = x(x ? a)(x + b)
の形に表せる楕円曲線 E に制限した Szpiro 予想と同値になります.
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/374

376: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/13(木) 12:11:47.07 ID:Di2gg/DV

>>324 補足

オイラーの定数の定義式の前半のΣ k=1〜n（1/k）は、いわゆる調和数 Hnであり
これのある予想（下記 Lagariasなど）が、Riemann Hypothesisと等価だという

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E6%95%B0
オイラーの定数
γ：＝ lim n→∞ {（Σ k=1〜n（1/k） -ln(n)}

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Mascheroni_constant
Euler?Mascheroni constant

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E6%95%B0_(%E7%99%BA%E6%95%A3%E5%88%97)
調和数 (発散列)
(抜粋)
数学において、n-番目の調和数（ちょうわすう、英: harmonic number）は 1 から n までの自然数の逆数和
H_n=1+1/2+ 1/3+・・・ + 1/n=Σ k=1〜n (1/k)
である。これは、1 から n までの自然数の調和平均の逆数の n-倍に等しい。
調和数は遥か昔から研究され、数論の各分野において重要である。調和数の極限は、調和級数と呼ばれ（しばしば調和数も含めて一口に調和級数と呼ぶこともある）、リーマンゼータ函数と近しい関係にあり、また種々の特殊函数のさまざまな表示に現れる。

http://mathworld.wolfram.com/RiemannHypothesis.html
Riemann Hypothesis
(抜粋)
By modifying a criterion of Robin (1984), Lagarias (2000) showed that the Riemann hypothesis is equivalent to the statement that
Σ(n)<=H_n+exp(H_n)lnH_n,  (5)
for all n>=1, with equality only for n=1, where H_n is a harmonic number and sigma(n) is the divisor function (Havil 2003, p. 207).
http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/RiemannHypothesisSigma_800.gif
The plots above show these two functions (left plot) and their difference (right plot) for n up to 1000.

http://www.math.lsa.umich.edu/~lagarias/doc/elementaryrh.pdf
An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis JC Lagarias  (July 29, 2001 version)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0
リーマンゼータ関数

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/376

377: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/13(木) 14:25:43.87 ID:Di2gg/DV

>>376 つづき

さて、上記から見ると、オイラー定数γのうち、後半の -ln(n) 部分は初等関数なので、比較的素性は分かっているとして
調和数 Hn について、初等的かつ簡単な考察をしてみる

１．いま、γが有理数か無理数かの問題なので、Hnの小数部分に注目する
　FR(x)＝x-[x] という関数を考えよう。
　[x]は、いわいる階段関数で、実数ｘに対し、ｘを超えない最大整数とする（ガウス記号）で、x 正として FR(x)＝x-[x] は小数部分を表す
２．FR(Hn)＝Hn-[Hn] は、その式の形から、ｎ有限で有理数であって、分子/分母 の形になることは自明
　分母に着目すると、単純に通分して、1*2*3・・・n となるが、一方 オイラー積を考えると
　近似としては、分母は Πpi とできるだろう（素数の積で、 i＝1〜m ここに、piはn以下の素数の全て)
３．いずれにせよ、nが大きくなると、分母に来る素数piも増えて、FR(Hn)は循環小数として、周期がどんどん長くなる
　n→∞では、周期も無限大になり、無理数になると予想される
　その出自から、有限次数の代数方程式の根なるとも思えないから、おそらくは超越数
４．同様に、後半のFR(ln(n))＝ln(n)-[ln(n)] を考察すると、任意 n>=2で超越数なので（下記 リンデマン）
　n→∞でも、超越数になると予想される
５．そうすると、オイラー定数γは、全く出自の違う ２つの数 FR(Hn)-FR(ln(n)) が
　n→∞で、超越数t1−超越数t2 となると予想される
　直感的に、t1−t2 が有理数となるとすれば、t1とt2との間に、何か特別な関係があるはずと予想される
　逆に、t1とt2との間に、特別な関係がないと予想されるならば、普通は超越数になるだろうと予想される
６．あるHnのn→∞の極限の値が、Riemann Hypothesisと等価だというから、数学的には Hnが 数学的に深い存在でしょう
　ということは、FR(Hn)-FR(ln(n)) が有理数であるという証明は、簡単に済むとは思えないのです（＾＾；
　もし、γが 有理数にしろ、無理数にしろ、はっきりするとすれば、調和数 Hnの深い研究から出てくる気がする
７．なので、γを直接狙わずに、調和数 Hnの方から攻めた方が、
　論文ネタも多くあるだろうし、結果として、遠回りに見えて近道かもしれないと思う今日この頃（＾＾；

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/377

380: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/13(木) 18:02:42.81 ID:Di2gg/DV

>>377 補足

おれだったら、研究するなら、最低でも下記は読み込むけどね
（2013年なので、これでは足りないけどね）
https://arxiv.org/pdf/1303.1856.pdf
EULER’S CONSTANT: EULER’S WORK AND MODERN DEVELOPMENTS
JEFFREY C. LAGARIAS Date: October 10, 2013.
(抜粋)
Abstract. This paper has two parts. The first part surveys Euler’s work on the constant γ = 0.57721... bearing his name, together with some of his related work on the
gamma function, values of the zeta function, and divergent series. The second part
describes various mathematical developments involving Euler’s constant, as well as
another constant, the Euler-Gompertz constant. These developments include connections with arithmetic functions and the Riemann hypothesis, and with sieve methods,
random permutations, and random matrix products. It also includes recent results on
Diophantine approximation and transcendence related to Euler’s constant.
Contents
1. Introduction 2
2. Euler’s work 4
2.1. Background 4
2.2. Harmonic series and Euler’s constant 5
2.3. The gamma function 11
2.4. Zeta values 13
2.5. Summing divergent series: the Euler-Gompertz constant 22
2.6. Euler-Mascheroni constant; Euler’s approach to research 27
3. Mathematical Developments 28
3.1. Euler’s constant and the gamma function 28
3.2. Euler’s constant and the zeta function 32
3.3. Euler’s constant and prime numbers 35
3.4. Euler’s constant and arithmetic functions 36
3.5. Euler’s constant and sieve methods: the Dickman function 39
3.6. Euler’s constant and sieve methods: the Buchstab function 42
3.7. Euler’s constant and the Riemann hypothesis 44
3.8. Generalized Euler constants and the Riemann hypothesis 46
3.9. Euler’s constant and extreme values of ζ(1 + it) and L(1, χ?d) 48
3.10. Euler’s constant and random permutations: cycle structure 51
略
4. Concluding remarks 77

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/380

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