現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む81

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706: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/01/25(土) 20:13:56 ID:6R47yjwL

>>689
>＞ 「代表元は誰が選んでも同じ」？ 証明は？
>定義を証明しろ、という人は数学が分かってない
>「代表元」と書いた瞬間に一意的であると定義されたことになる
>日本語がわかる人ならわかる

”「代表元」と書いた瞬間に一意的であると定義されたことになる”？
”日本語がわかる人ならわかる”
なんだそれｗ

じゃ、英語で考えなよ
「同値関係」、「同値類」、「代表元」、「標準（英語版）代表元」
全部、戦前の欧州（独、仏、英）で、考えられた数学概念だ

日本語で考えるから、間違えるんだろ？（＾＾
もし、英語できないなら、下記 wikipedia 嫁め

（>>626より）
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%96%A2%E4%BF%82
同値関係
(抜粋)
諸概念
同値類
一つの同値類 X に対して、[x] = X となる S の元 x を1つ定めることを、X の代表元として x をとるという。
1つの同値類は、それに含まれている元のうちどれをとっても、それを代表元とする同値類はもとと同じ集合になる（代表元の取替えによって不変である）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%A1%9E
同値類
(抜粋)
各同値類の元を（しばしば暗黙に）選ぶと，切断（英語版）と呼ばれる単射が定義される．
この切断を s で表せば，各同値類 c に対して [s(c)] = c である．
元 s(c) は c の代表元 (representative) と呼ばれる．切断を適切に取って類の任意の元をその類の代表元として選ぶことができる．

ある切断が他の切断よりも「自然」であることがある．この場合，代表元を標準（英語版）代表元と呼ぶ．
例えば，合同算術において，整数上の同値関係で，a 〜 b を a - b が法と呼ばれる与えられた整数 n の倍数であると定義したものを考える．
各類は n 未満の非負整数を唯一つ含み，
これらの整数が標準的な代表元である．
類とその代表元は多かれ少なかれ同一視され，例えば a mod n という表記は類を表すことも標準的な代表元（a を n で割った余り）を表すこともある．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1579314726/706

759: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/01/26(日) 09:48:56 ID:h4v61nqE

>>689
>＞ 「代表元は誰が選んでも同じ」？ 証明は？
>定義を証明しろ、という人は数学が分かってない
>「代表元」と書いた瞬間に一意的であると定義されたことになる

この発言を潰しておくよ（＾＾

１．下記ヴィタリ集合を例にとる
（下記”加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている”）
２．下記、”選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる”
３．もし、一意なら、 [0, 1] の部分集合以外には、代表は取れないことになる
４．しかし、円周率πの同値類の代表として、π自身を取ることは何の問題もない。πは [0, 1] の部分集合ではない QED （＾＾；
５．もちろん、π−3＝0.141592・・ として、 [0, 1] 内に代表を取ることも可（上記２の通り）
６．余談だが、商群 R/Q の代表は、[0, 0.1] 内に取ることも可だよ
　例えば、上記πなら、π−3.1＝0.041592・・ として、 [0, 0.1] 内に代表が入るように調整すれば良いだけのこと

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
(抜粋)
構成と証明
有理数集合 Q は実数集合 R の普通の加法についての部分群を成す。
なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。
この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。

R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。
R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。
このようにして作られた集合がヴィタリ集合と呼ばれているものである。
すなわち、ヴィタリ集合 V は [0, 1] の部分集合で、各 r ∈ R に対して v - r が有理数になるような一意的な v を要素に持つものである。
ヴィタリ集合 V は不可算であり、  u,v ∈ V,u≠vであれば v - u は必ず無理数である。
略
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1579314726/759

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