[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む81 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む81 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1579314726/

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56: １３２人目の素数さん [sage] 2020/01/18(土) 15:03:57 ID:LY3dX+ef >>53 当時の記録があるから、その証明を再度書こう。 [命題]：一般に、任意の正の超越数xと、任意の |y|≠0 かつ |y|≠1 なる代数的数 y∈R に対して、log_x|y| は無理数である。 証]：或る正の超越数xと、或る |y|≠0 かつ |y|≠1 なる代数的数 y∈R が存在して、log_x|y|∈Q とする。 仮定からxは正の超越数だから、任意の0とは異なる整数pに対して x^p は正の超越数である。 また同様に、仮定からyは実数であって |y|≠0 かつ |y|≠1 なる代数的数だから、|y| は1とは異なる正の代数的数である。 従って、log_x|y| に対して或る既約有理数 p/q (p,q)＝1 q＞1 が存在して log_x|y|＝p/q から x^{p/q}＝|y|、 故に x^{2p/q}＝y^2。仮定からxは正の超越数だから、x^{2p/q} は正の超越数である。 しかし、仮定からyは実数の代数的数だから、y^2 は正の代数的数である。従って、x^{2p/q}≠y^2 となる。故に矛盾が生じる。 背理法が適用出来るから、背理法を適用すると、示すべき結論は導かれる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1579314726/56

60: １３２人目の素数さん [sage] 2020/01/18(土) 15:13:18 ID:LY3dX+ef >>55 >>56で示した命題に従うと、すぐいえること。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1579314726/60

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