現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む81

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759: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/01/26(日) 09:48:56 ID:h4v61nqE

>>689
>＞ 「代表元は誰が選んでも同じ」？ 証明は？
>定義を証明しろ、という人は数学が分かってない
>「代表元」と書いた瞬間に一意的であると定義されたことになる

この発言を潰しておくよ（＾＾

１．下記ヴィタリ集合を例にとる
（下記”加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている”）
２．下記、”選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる”
３．もし、一意なら、 [0, 1] の部分集合以外には、代表は取れないことになる
４．しかし、円周率πの同値類の代表として、π自身を取ることは何の問題もない。πは [0, 1] の部分集合ではない QED （＾＾；
５．もちろん、π−3＝0.141592・・ として、 [0, 1] 内に代表を取ることも可（上記２の通り）
６．余談だが、商群 R/Q の代表は、[0, 0.1] 内に取ることも可だよ
　例えば、上記πなら、π−3.1＝0.041592・・ として、 [0, 0.1] 内に代表が入るように調整すれば良いだけのこと

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
(抜粋)
構成と証明
有理数集合 Q は実数集合 R の普通の加法についての部分群を成す。
なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。
この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。

R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。
R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。
このようにして作られた集合がヴィタリ集合と呼ばれているものである。
すなわち、ヴィタリ集合 V は [0, 1] の部分集合で、各 r ∈ R に対して v - r が有理数になるような一意的な v を要素に持つものである。
ヴィタリ集合 V は不可算であり、  u,v ∈ V,u≠vであれば v - u は必ず無理数である。
略
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1579314726/759

761: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/01/26(日) 10:10:12 ID:h4v61nqE

>>759 補足

１．wikipediaのヴィタリ集合の非可測の証明を読めば分かることだが
　ヴィタリ集合は、R/Qの代表を集めた集合なのだが、
　その元、一つ一つは、例えばπでも、π−3でも、π−3.1でも良いが、それは１点にすぎない
２．だから、ルベーグ測度論としては、零集合で測度は0
　もし、ヴィタリ集合が可算なら測度0だが、非可算なので零集合でない可能性がある
　それを論じたのが、wikipediaのヴィタリ集合の非可測の証明
３．それで、>>648に書いたが、
　英語では、部分代表系 ”A (partial) system of distinct representatives”もある
　時枝は、部分代表系しか使っていない
４．だから、全体の完全代表系が非可測であることの影響はないと考えるべき
　実際、選択公理を仮定しないで、全体の完全代表系が非可測であることを証明できなくても
　他の選択公理の代用を使って、部分代表系のみで、時枝さんの戦略は、実行可能
５．なので、下記時枝記事は間違い（スレ80の53引用ご参照）
　完全代表系なら、選択公理が必要だが
　部分代表系のみ済むので、選択公理は必要としない
７．ということで、前スレ80 ジムの数学徒氏（>>5）の証明の指摘が生きる
　（>>574より） 前スレ80 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/271
　”可測関数か否か”の問題とか、証明中 (2)の「P（Ω）＝１」を満たせないとか

（参考）
スレ80 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/53
53 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/01/05(日) 11:24:44.36 ID:n1YRC2Dd [4/7]
さらに、数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある
「R^N/〜 の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
その結果R^N →R^N/〜 の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1579314726/761

806: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/01/26(日) 19:35:15 ID:h4v61nqE

おーい、ジムの数学徒さん（>>5）よー
見ているんだろう （＾＾；
次スレに流れる前に、書いておくよー！

(引用開始)
(抜粋)
スレ80 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/231
231 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/01/10(金) 15:52:39.28 ID:jmw8DMZb [3/12]
時枝先生の記事の "もっともらしさ" の罠はしかし意外に難しいかもしれない。
言われてみれば当たり前のことなのだけど、確率論の初学者には見つけにくてもしょうがない。
私も確率論は門外漢なのでそんな上から目線でいえる立場にはないが。
その当時のネットの議論でどんな意見が出たのかはしらないが、結局のところ、誰もどこがおかしいのか見つけられなかったのが真相なんだろう。
本来数学の議論はキチンと定式化して議論すれば反論の余地などない。
揉めるのはキチンと定式化して議論してないからだ。

スレ80 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/286
286 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/01/10(金) 23:35:01.18 ID:jmw8DMZb [12/12]
しかしこのスレの常連達は全然数式つかって議論しないんだな。
(引用終り)

＜コメント＞
１．見ての通り、「キチンと定式化」とか「数式」とか以前で揉めている
　（折角書いてもらった 前スレ80 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/271 の証明も、理解されない（出来ない？））
２．時枝成立派は、同値類と代表系の概念はあるが、確率論の基礎概念が抜けている
　「何が確率変数か？」「確率変数とは何か？」から、その基礎知識が抜けている
３．確率論を学ぼうとしない
　というか、確率論を学ぶ 数理能力 が、欠落していると思われる

まあ、あなたは議論にならんと思っているだろうね
その内に、なにか面白いことを、思いついたら
また、書いてやってください、よろしくね（＾＾；

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1579314726/806

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