[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む81 (1002ﾚｽ)
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26(3): 2020/01/18(土)12:21 ID:LY3dX+ef(1/13) AAS
おっちゃんです。
自分でも正しいか分からないけど、理屈では x^x＝2 を満たす有理数xが存在するとのこと。
37(3): 2020/01/18(土)14:13 ID:LY3dX+ef(2/13) AAS
>>27
ゲルフォント・シュナイダーの定理と、任意の正の超越数xに対して、x^x は超越数であることから、
任意の正の無理数aに対して a^a は超越数だから、
38(1): 2020/01/18(土)14:22 ID:LY3dX+ef(3/13) AAS
>>27
(>>37の続き)
正の変数xの実関数 x^x x＞0 が区間 [1,+∞] で単調増加なことから、
任意の1以上の有理数aに対して、 或る有理数xが存在して、x^x＝a となる。
>>37ではレスしてしまった。
39: 2020/01/18(土)14:25 ID:LY3dX+ef(4/13) AAS
>>27
>>38の訂正：区間 [1,+∞] → 区間 [1,+∞)
46(3): 2020/01/18(土)14:44 ID:LY3dX+ef(5/13) AAS
>>27
>>37の
>任意の正の超越数xに対して、x^x は超越数であること
は、或る正の超越数xに対して、x^x が正の代数的数とすると、
xが無理数であることと、
>[命題]：任意の正の超越数xと、任意の 正かつy≠1 なる代数的数 y∈R に対して、log_x (y) は無理数である。
> （注：ここに、log_x (y) は、xを底とする対数関数である）
省2
52: 2020/01/18(土)14:53 ID:LY3dX+ef(6/13) AAS
>>47
>[命題]：任意の正の超越数xと、任意の 正かつy≠1 なる代数的数 y∈R に対して、log_x (y) は無理数である。
> （注：ここに、log_x (y) は、xを底とする対数関数である）
の証明は以前ここでやった。
この命題によると、理屈上は
>x^x=7 すなわちxlog x=log 7の正の解が代数的数になるんですか
と結論付けざるを得ない。
56(1): 2020/01/18(土)15:03 ID:LY3dX+ef(7/13) AAS
>>53
当時の記録があるから、その証明を再度書こう。
[命題]：一般に、任意の正の超越数xと、任意の |y|≠0 かつ |y|≠1 なる代数的数 y∈R に対して、log_x|y| は無理数である。
証]：或る正の超越数xと、或る |y|≠0 かつ |y|≠1 なる代数的数 y∈R が存在して、log_x|y|∈Q とする。
仮定からxは正の超越数だから、任意の0とは異なる整数pに対して x^p は正の超越数である。
また同様に、仮定からyは実数であって |y|≠0 かつ |y|≠1 なる代数的数だから、|y| は1とは異なる正の代数的数である。
従って、log_x|y| に対して或る既約有理数 p/q (p,q)＝1 q＞1 が存在して log_x|y|＝p/q から x^{p/q}＝|y|、
省3
60(1): 2020/01/18(土)15:13 ID:LY3dX+ef(8/13) AAS
>>55
>>56で示した命題に従うと、すぐいえること。
70: 2020/01/18(土)16:02 ID:LY3dX+ef(9/13) AAS
>>62
>>46は間違いだった。
74(2): 2020/01/18(土)16:15 ID:LY3dX+ef(10/13) AAS
[命題]：任意の正の超越数xに対して、x^x は代数的無理数ではない。
しか示せなかった。
85: 2020/01/18(土)16:44 ID:LY3dX+ef(11/13) AAS
>>77
殆ど書いてない。
>>74が正しいかどうかは不明。
確認や訂正は今度する。
87: 2020/01/18(土)16:45 ID:LY3dX+ef(12/13) AAS
それじゃ、おっちゃんもう寝る。
90(1): 2020/01/18(土)16:51 ID:LY3dX+ef(13/13) AAS
>>77
今回のようにマジメに紙に書いて準備して確認せずにレスすることもある。
それじゃ、おっちゃんもう寝る。
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