現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む80

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594: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/01/13(月) 10:00:28.67 ID:vKumeiVN

>>433 補足
(引用開始)
５．では、決定番号が自然数全体、つまり1〜n→∞ の整数を考えた場合はどうか？
　　この場合は、上記1〜4のような考えはできない
　　つまり、自然数全体は、非正則分布になる（>>375に書いた通り）
　　仮に、上記4のように、決定番号が、d1>d2>d3 になったとすると
　　これは、条件つき確率であり、「決定番号が、d1>d2>d3」の確率は0である
　（∵自然数全体に対して、有限 1〜nの整数は、n個なので、n/∞＝0）
　　つまり、条件確率0で、上記４の確率を計算していることになり、時枝記事のような確率計算は不成立 ＊）
６．よって、結局、正しい確率計算は、iidの場合のように、普通の確率論の計算通り。これが正解になるのです（＾＾；
追伸
＊）上記５）は、自然数全体Nの一様分布が、非正則であることを使って説明したが
　すでに書いたように、可算無限長の数列の決定番号は、形式的冪級数環と多項式環のモデルで考えるべきである。なので、一様分布以上に発散する分布になることを注意しておく
(引用終り)

<補足説明をします>
１．「形式的冪級数環と多項式環のモデル」と”環”を使ったことには意味があって、どちらも式の次数が”無限”であることを強調したのだ
　但し、形式的冪級数環の式は真の”無限”次数だが、多項式環では任意の式は有限次数で、上限が無いという意味の”無限”である
（哲学的には、前者を実無限、後者を可能無限と言ったりする）
２．さて、>>21に時枝の決定番号が、多項式環中の多項式の次数で表現できることは、すでに説明した
（正確には次数n に対して、決定番号はn+1 になるのだが）
３．ルベーグ測度の話に乗せるために、例として3次式 a0+a1x+a2x^2+a3x^3を考える
　係数が、下記一次元区間 [a, b]内の値を取るとする
　3次式 a0+a1x+a2x^2+a3x^3を、空間(a0, a1x, a2x^2, a3x^3)と見ると、この超立体の体積は[a, b]^4となる
（”超立体の超体積”が正確かもしれないが、用語の濫用とする）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/594

595: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/01/13(月) 10:02:42.02 ID:vKumeiVN

>>594
つづき
４．この視点からは、[a, b]^3は零集合。
　つまり、上記3項の3次式 a0+a1x+a2x^2+a3x^3の集合から、ランダムに式を取り出したとき
　a3＝0 つまり、2次式 a0+a1x+a2x^2 の集合は、零集合であるから、2次式の確率0。
５．同様に、n次式の集合から、ランダムに式を取り出したとき
　n-1次式の集合は、零集合であるから、n-1次式の確率0。
６．同じ論法で、多項式環から、有限次の式の組合わせ d1>d2>d3 を考えることは、それは 零集合の話だということ
７．勿論、これは厳密な定式化ではない。
　ルベーグ測度は、「n-次元ユークリッド空間 Rn」でしか定義できない。
　時枝のような、Rn n→∞ である多項式環の集合は、ルベーグ測度には乗らない（係数も区間 [a, b]ではなく、実数Rですし）
８．そこで、数学の厳密な定式化は、ID:QNR5W2Z7 氏が >>271 で行って、「時枝は確率論で扱えない」という証明をしました
以上
QED （＾＾；

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E6%B8%AC%E5%BA%A6
ルベーグ測度
(抜粋)
例
・二次元の集合 A が、一次元区間 [a, b] と [c, d] の 直積集合（つまり辺が軸に平行な長方形）であれば、A の二次元ルベーグ測度は、一次元ルベーグ測度の積 (b - a)(d - c) に等しい。
性質
n-次元ユークリッド空間 Rn の n-次元ルベーグ測度 λn あるいは簡単に λ は次のような性質を持つ。
1.A を一次元区間の直積： I1 × I2 × ? × In とする。このとき A はルベーグ可測で λ(A) = |I1|・|I2|?|In| である。ただしここで、|J| は区間 J の長さを意味している。
8.λ(A) = 0 となるルベーグ可測集合 A (これを零集合という) について、A の部分集合はすべて零集合である。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/595

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